Princípios de contagem e probabilidade

Defina o resultado antes da fórmula: trocar duas pessoas muda uma comissão sem cargos? Não. Muda presidente e vice? Sim. Alternativas disjuntas somam; etapas sucessivas multiplicam as opções efetivamente disponíveis em cada etapa.

Escolha a contagem

Considere $n$ objetos/tipos e $k$ escolhas. Em fatoriais, $0!=1$ .

Resultado diferente quando…	Contagem	Condições
Usa todos os distintos e troca a ordem	$n!$ (permutação)	$n\ge0$ .
Escolhe parte, com ordem/cargos	$A_{n,k}=\dfrac{n!}{(n-k)!}$	$0\le k\le n$ ; sem reposição.
Escolhe parte, sem ordem	$C_{n,k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$	$0\le k\le n$ ; sem reposição.
Escolhe em etapas, com repetição e ordem	$n^k$	$n\ge1$ , $k\ge0$ ; todas as opções disponíveis em cada etapa.
Ordena $n$ itens com cópias iguais	$\dfrac{n!}{a_1!\cdots a_r!}$	Grupos indistinguíveis de tamanhos $a_i$ , com $\sum_i a_i=n$ .
Escolhe $k$ entre $n$ tipos, repetição sem ordem	$\binom{n+k-1}{k}$	$n\ge1$ , $k\ge0$ .
Dispõe $n$ distintos em círculo sem assento marcado	$(n-1)!$	$n\ge1$ ; rotações equivalem; reflexões só se o comando permitir.

Restrição: fixe posições antes de contar; junte vizinhos em bloco e conte sua ordem interna; para separar, use lacunas ou total menos adjacentes. Em numeral, zero não ocupa a primeira posição. Trocas de cópias iguais não criam novas ordens. “Pelo menos um” costuma favorecer o complemento “nenhum”.

Para alternativas sobrepostas, subtraia a interseção: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ . Em três conjuntos, subtraia as três interseções de pares e devolva a interseção tripla. Ao distribuir $N\ge0$ objetos em $r\ge1$ caixas, alguma contém ao menos $\lceil N/r\rceil$ ; isso não identifica qual nem garante quantidade exata. Com 31 objetos e 6 caixas, o maior mínimo garantido é 6: se cada caixa tivesse no máximo 5, só caberiam 30.

Probabilidade: identifique o universo

Em espaço finito de resultados elementares equiprováveis, $P(A)=|A|/|\Omega|$ para evento $A$ em $\Omega$ , o conjunto de todos os resultados possíveis. Em dois dados honestos distinguíveis, 36 duplas ordenadas são equiprováveis; as somas não são.

Gatilho	Regra e condição
Não A	$P(A^c)=1-P(A)$ .
A ou B, incluindo ambos	$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ ; se disjuntos, interseção zero.
A sabendo que B	$P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ , se $P(B)>0$ ; $P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$ .
A e B independentes	$P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ; com $P(B)>0$ , $P(A\mid B)=P(A)$ .
Ao menos um sucesso	$1-(1-p)^t$ , se $t\ge1$ tentativas independentes têm, cada uma, sucesso com chance $0\le p\le1$ .

Exclusão mútua não é independência: se ambos os eventos têm probabilidade positiva e não ocorrem juntos, conhecer um elimina o outro. Sem reposição, composição e chance seguinte em geral mudam; com reposição, a composição é restaurada, mas verifique as condições reais do experimento. $P(A\mid B)$ e $P(B\mid A)$ respondem a perguntas diferentes.

Origens possíveis: se $B_1,\ldots,B_m$ formam uma partição, com $P(B_i)>0$ , então $P(A)=\sum_i P(A\mid B_i)P(B_i)$ . Observado $A$ com $P(A)>0$ , $P(B_j\mid A)=P(A\mid B_j)P(B_j)/P(A)$ . O peso inicial $P(B_j)$ é a taxa-base; não o omita ao inverter o condicionamento.

Conferência final: ordem, repetição, restrição, resultados equiprováveis, evento condicionante e reposição; a probabilidade calculada deve estar entre 0 e 1.