Variáveis aleatórias, distribuições, momentos e transformações

Em U051, a pergunta era “qual é a chance de um evento ocorrer?”. Agora a pergunta muda: como transformar o resultado aleatório em um número e descrever o comportamento desse número?

O mapa desta unidade é:

resultado → variável aleatória → distribuição → esperança e momentos → modelo especial → distribuição conjunta/condicional → transformação

Uma variável aleatória cria uma ponte entre o experimento e as ferramentas numéricas da Estatística. Depois de definir a variável, precisamos dizer quais valores ela pode assumir e como a probabilidade se distribui entre eles.

1. Variável aleatória: uma função aplicada ao resultado

Uma variável aleatória associa um número real a cada resultado do experimento.

Exemplo hipotético: três moedas são lançadas. Em vez de trabalhar com sequências como CCK ou KCC, defina

[ X=\text{número de caras nos três lançamentos}. ]

A variável (X) pode assumir apenas

[ 0,1,2,3. ]

Os resultados elementares continuam existindo; a variável apenas os resume por uma característica numérica de interesse.

O conjunto de valores que uma variável pode assumir é chamado aqui de suporte.

Discreta

Uma variável aleatória é discreta quando assume um conjunto finito ou enumerável de valores. Contagens são o exemplo típico:

• número de chamadas;
• número de falhas;
• número de acertos;
• número de ocorrências em certo período.

Contínua

Uma variável aleatória é contínua quando é modelada em uma escala contínua, como:

• tempo de espera;
• distância;
• temperatura;
• massa.

A diferença entre discreta e contínua determina como a distribuição será representada.

2. Distribuição: a lei probabilística da variável

A distribuição de probabilidade descreve como a probabilidade é atribuída aos valores de uma variável aleatória.

Há várias formas de representar a mesma distribuição. Três delas são centrais nesta unidade:

1. função de probabilidade, para variável discreta;
2. função densidade, para variável contínua;
3. função de distribuição acumulada, que serve para ambos os casos.

3. Função de probabilidade: massa em pontos discretos

Para uma variável discreta (X), escrevemos

[ p_X(x)=P(X=x). ]

Para ser uma função de probabilidade válida:

[ p_X(x)\ge 0 ]

para todo (x), e

[ \sum_x p_X(x)=1. ]

Exemplo hipotético: se (X) é o número de caras em dois lançamentos independentes de moeda honesta,

[ P(X=0)=\frac14,\qquad P(X=1)=\frac12,\qquad P(X=2)=\frac14. ]

As três massas somam 1.

4. Densidade: probabilidade é área, não altura

Para uma variável contínua (X), uma função densidade (f_X(x)) deve ser não negativa e ter área total 1:

[ f_X(x)\ge 0, \qquad \int_{-\infty}^{\infty}f_X(x),dx=1. ]

A probabilidade de um intervalo é

[ P(a\le X\le b)=\int_a^b f_X(x),dx. ]

Duas consequências são essenciais:

• para uma variável contínua com densidade, (P(X=x_0)=0) para qualquer ponto isolado (x_0);
• o valor de (f_X(x)) não é uma probabilidade pontual e pode até ser maior que 1; o que precisa ficar entre 0 e 1 é a área correspondente a uma probabilidade.

Assim, em variáveis contínuas,

[ P(a<X<b)=P(a\le X\le b), ]

porque acrescentar ou retirar os extremos, que são pontos isolados, não muda a probabilidade.

5. A função acumulada unifica discreto e contínuo

A função de distribuição acumulada é

[ F_X(x)=P(X\le x). ]

Ela é não decrescente, assume valores entre 0 e 1 e satisfaz

[ \lim_{x\to-\infty}F_X(x)=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}F_X(x)=1. ]

No caso discreto, a acumulada soma as massas até (x). No caso contínuo, integra a densidade até (x):

[ F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t),dt. ]

Quando (F_X) é diferenciável,

[ f_X(x)=F’_X(x). ]

Uma vantagem prática: a acumulada responde diretamente a perguntas como (P(X\le c)). Para intervalos,

[ P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a). ]

6. Esperança: o centro teórico da distribuição

A esperança ou valor esperado é uma média ponderada pela própria distribuição.

Para (X) discreta:

[ E(X)=\sum_x x,p_X(x), ]

quando a soma existe.

Para (X) contínua:

[ E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x f_X(x),dx, ]

quando a integral existe.

A esperança não precisa ser um valor que a variável possa assumir. Em um dado honesto,

[ E(X)=3{,}5, ]

embora nenhuma face mostre 3,5.

Funções da variável

Mais geralmente,

[ E[g(X)] =\sum_x g(x)p_X(x) ]

no caso discreto, ou

[ E[g(X)] =\int g(x)f_X(x),dx ]

no contínuo.

Isso permite obter momentos e outras medidas sem encontrar primeiro a distribuição de (g(X)).

7. Momentos: resumir potência, centro e dispersão

O momento bruto de ordem (k) é

[ E(X^k), ]

quando existe.

O primeiro momento bruto é a média:

[ E(X)=\mu. ]

O momento central de ordem (k) é

[ E[(X-\mu)^k]. ]

O segundo momento central é a variância:

[ \operatorname{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]. ]

Uma identidade de alto rendimento é

[ \operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2. ]

O desvio padrão é

[ \sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}. ]

Transformações lineares e momentos

Se

[ Y=a+bX, ]

então

[ E(Y)=a+bE(X) ]

e

[ \operatorname{Var}(Y)=b^2\operatorname{Var}(X). ]

A constante (a) desloca a posição, mas não altera a dispersão; o fator (b) muda a escala.

8. Distribuições especiais: reconhecer o mecanismo antes da fórmula

O edital usa a expressão ampla “distribuições especiais”. Para prova, o melhor caminho é associar cada família a um mecanismo típico.

8.1 Bernoulli

Uma única tentativa com dois resultados codificados como 1 (sucesso) e 0 (fracasso):

[ P(X=1)=p,\qquad P(X=0)=1-p. ]

Então

[ E(X)=p, \qquad \operatorname{Var}(X)=p(1-p). ]

8.2 Binomial

Conta sucessos em (n) tentativas independentes de Bernoulli, cada uma com a mesma probabilidade (p):

[ P(X=x)=\binom nx p^x(1-p)^{n-x}, \qquad x=0,1,\ldots,n. ]

Se (X\sim\operatorname{Binomial}(n,p)),

[ E(X)=np, \qquad \operatorname{Var}(X)=np(1-p). ]

A palavra-chave não é apenas “contagem”: é número fixo de tentativas, dois resultados por tentativa, mesma probabilidade de sucesso e independência.

8.3 Poisson

Modela contagens de eventos em uma região de tempo, espaço ou outra exposição, em um modelo com parâmetro (\lambda>0):

[ P(X=x)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}, \qquad x=0,1,2,\ldots ]

Uma propriedade decisiva é

[ E(X)=\operatorname{Var}(X)=\lambda. ]

Logo o desvio padrão é

[ \sqrt{\lambda}, ]

não (\lambda), salvo no caso particular em que isso coincida.

Se (X_1,\ldots,X_m) são variáveis de Poisson independentes, com parâmetros (\lambda_1,\ldots,\lambda_m), então

[ X_1+\cdots+X_m \sim \operatorname{Poisson}(\lambda_1+\cdots+\lambda_m). ]

A independência é condição importante para essa regra de soma.

8.4 Uniforme contínua

Na distribuição uniforme em ((a,b)), a densidade é constante no intervalo:

[ f(x)=\frac{1}{b-a},\qquad a<x<b. ]

Seu centro e sua variância são

[ E(X)=\frac{a+b}{2}, \qquad \operatorname{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}. ]

8.5 Exponencial

Na parametrização por taxa (\lambda>0),

[ f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\qquad x\ge0. ]

Tem

[ E(X)=\frac1\lambda, \qquad \operatorname{Var}(X)=\frac1{\lambda^2}. ]

É usada como modelo de tempo de espera em mecanismos com taxa constante. Na forma exponencial clássica, vale a propriedade de falta de memória:

[ P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t). ]

8.6 Normal

Uma variável normal é descrita por média (\mu) e variância (\sigma^2), com densidade simétrica em torno de (\mu):

[ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left[-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right], \qquad \sigma>0. ]

Se

[ X\sim N(\mu,\sigma^2), ]

a padronização

[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} ]

produz uma normal padrão, de média 0 e variância 1.

As distribuições qui-quadrado, t e F serão tratadas no contexto em que ganham função operacional neste programa: distribuições amostrais e inferência, nas unidades seguintes. Isso evita decorar famílias antes de entender para que servem.

9. Duas variáveis: distribuição conjunta e marginais

Quando duas variáveis aleatórias (X) e (Y) são observadas no mesmo experimento, precisamos descrever seu comportamento conjunto.

No caso discreto, uma função conjunta pode ser escrita como

[ p_{X,Y}(x,y)=P(X=x,Y=y). ]

A distribuição marginal de (X) é obtida somando a outra coordenada:

[ p_X(x)=\sum_y p_{X,Y}(x,y). ]

Analogamente,

[ p_Y(y)=\sum_x p_{X,Y}(x,y). ]

No caso contínuo, a soma é substituída por integração:

[ f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y),dy. ]

O princípio é sempre o mesmo: marginalizar é eliminar da descrição a variável que não está sendo perguntada.

10. Distribuição condicional: fixar informação sobre outra variável

No caso discreto, se (p_X(x)>0), a distribuição condicional de (Y) dado (X=x) é

[ p_{Y\mid X}(y\mid x)

\frac{p_{X,Y}(x,y)}{p_X(x)}. ]

No caso contínuo, quando (f_X(x)>0), a densidade condicional correspondente é

[ f_{Y\mid X}(y\mid x)

\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)}. ]

A lógica vem diretamente de U051: a informação (X=x) muda o universo de referência.

Também podemos calcular momentos condicionais, como

[ E(Y\mid X=x) ]

e

[ \operatorname{Var}(Y\mid X=x). ]

11. Independência de variáveis aleatórias

Duas variáveis são independentes quando sua distribuição conjunta se fatoriza no produto das marginais.

No caso discreto:

[ p_{X,Y}(x,y)=p_X(x)p_Y(y) ]

para todos os pares relevantes.

No caso contínuo:

[ f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y) ]

nos pontos pertinentes do suporte.

Quando há independência, conhecer o valor de uma não altera a distribuição da outra. Por isso, quando a condicional está definida,

[ p_{Y\mid X}(y\mid x)=p_Y(y) ]

no caso discreto, com relação análoga para densidades.

Pegadinha: independência não significa que (X) e (Y) tenham a mesma distribuição. Duas variáveis podem ser independentes e ter leis completamente diferentes.

12. Transformação de variável: criar uma nova variável a partir da antiga

Se

[ Y=g(X), ]

então (Y) é outra variável aleatória e precisa ter sua própria distribuição.

Caso discreto

Para obter (P(Y=y)), some as probabilidades de todos os valores de (X) que são enviados para (y):

[ P(Y=y)=\sum_{x:g(x)=y}P(X=x). ]

Se (Y=X^2), por exemplo, valores (X=2) e (X=-2) produzem o mesmo (Y=4); as massas correspondentes precisam ser somadas.

Caso contínuo: método da acumulada

Uma estratégia geral é calcular

[ F_Y(y)=P(g(X)\le y) ]

em termos da distribuição de (X) e, quando for apropriado, derivar para obter a densidade de (Y).

Mudança de variável em transformação invertível

Se (Y=g(X)) é uma transformação contínua um a um, com inversa (X=v(Y)), então, sob as condições usuais de diferenciabilidade,

[ f_Y(y)=f_X(v(y))\left|v’(y)\right|. ]

O fator (\left|v’(y)\right|) é o ajuste de escala: ele compensa o estiramento ou a compressão produzidos pela transformação.

Para uma transformação linear (Y=a+bX), com (b\ne0), a regra se reduz de modo consistente aos efeitos já vistos sobre média e variância.

13. Como reconhecer o caminho em prova

Antes de calcular, responda:

1. a variável é discreta ou contínua?
2. pediram probabilidade em um ponto ou em um intervalo?
3. há uma função de probabilidade, densidade ou acumulada disponível?
4. a questão pede média, variância ou outro momento?
5. o mecanismo corresponde a uma família especial conhecida?
6. há duas variáveis e é preciso marginalizar ou condicionar?
7. foi declarada independência — ou ela precisa ser verificada pela fatoração?
8. a variável pedida é uma transformação da variável original?

14. Pegadinhas de alto rendimento

“Densidade em (x) é igual a (P(X=x)).” Errado para variável contínua: a probabilidade do ponto é zero; a densidade é uma altura cuja integral gera probabilidade.

“Uma densidade nunca pode ultrapassar 1.” Errado. A área total precisa ser 1; a altura pode superar 1.

“Esperança é sempre um valor possível da variável.” Errado. Ela é um resumo teórico da distribuição.

“Na Poisson, o desvio padrão é (\lambda).” Errado. A variância é (\lambda), e o desvio padrão é (\sqrt{\lambda}).

“A soma de Poisson é Poisson sem qualquer condição.” A regra ensinada exige independência das variáveis somadas.

“Independência exige distribuições marginais iguais.” Errado. Exige fatoração da conjunta.

“Para achar a distribuição de (g(X)), basta substituir (x) por (g(x)) na densidade.” Errado em geral. É preciso considerar a imagem da transformação e o ajuste de escala; quando vários valores de (X) levam ao mesmo (Y), todas as contribuições contam.

15. Fronteira com U053

Esta unidade encerra o núcleo de variáveis aleatórias e suas distribuições até o item 2.10 do edital.

A U053 começa no item 2.11 e muda o foco: o que acontece quando repetimos o experimento e agregamos muitas observações? Nela entram leis dos grandes números, teorema central do limite, amostras aleatórias e distribuições amostrais.

Retenha a estrutura:

a variável transforma o resultado em número; a distribuição diz como a probabilidade se reparte; os momentos resumem a distribuição; condicionamento altera a lei; transformação cria uma nova lei.