Equivalências, De Morgan e diagramas lógicos

Dois testes diferentes, a mesma disciplina: fórmulas são equivalentes se têm o mesmo valor em todas as atribuições; uma conclusão sobre classes é necessária se vale em todos os diagramas admitidos pelas premissas. Uma linha com valores distintos refuta equivalência; um diagrama compatível sem a conclusão refuta necessidade.

Troque a fórmula sem mudar a verdade

Partida	Forma equivalente / negação procurada
Condicional `p → q`	`¬p ∨ q` e `¬q → ¬p` (contrapositiva).
Negação de `p → q`	`p ∧ ¬q`: exatamente o caso que torna a condicional falsa.
Bicondicional `p ↔ q`	`(p → q) ∧ (q → p)` ou `(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)`.
Negação de `p ↔ q`	`(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)`: valores diferentes.
Dupla negação `¬¬p`	`p`.

A conversa q → p e a inversa ¬p → ¬q não equivalem em geral a p → q. Para refutá-las, procure uma atribuição divergente; para confirmar equivalência, compare todas as linhas ou verifique se a bicondicional entre as fórmulas é sempre verdadeira.

De Morgan atravessa o agrupamento: negue cada parcela e troque ∧ por ∨ ou ∨ por ∧.

Negação	Equivalente
`¬(p ∧ q)`	`¬p ∨ ¬q`
`¬(p ∨ q)`	`¬p ∧ ¬q`

Para três parcelas, aplique a mesma troca a todas; em expressão aninhada, avance de fora para dentro, preservando parênteses. “Nem p nem q” significa ¬p ∧ ¬q. Para simplificar, reconheça também idempotência (p ∧ p ≡ p), comutatividade/associatividade (trocar ordem/agrupamento sem trocar conectivo), distributividade (p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r), e a forma dual), complemento (p ∨ ¬p sempre verdadeiro; p ∧ ¬p sempre falso), identidade (p ∧ V ≡ p, p ∨ F ≡ p) e absorção (p ∨ (p ∧ q) ≡ p, p ∧ (p ∨ q) ≡ p). Não cancele símbolos por aparência.

Leia regiões antes de concluir

Nos diagramas, letras A, B representam classes. Hachura exclui objetos; X afirma existência; região em branco não decide se existe alguém. Um X sobre fronteira conserva a dúvida entre sub-regiões possíveis.

Frase	Restrição / existência	Negação
Todo `A` é `B`	`A` fora de `B` vazia (`A ⊆ B`).	Algum `A` não é `B`.
Nenhum `A` é `B`	`A ∩ B` vazia.	Algum `A` é `B`.
Algum `A` é `B`	X em `A ∩ B`.	Nenhum `A` é `B`.
Algum `A` não é `B`	X em `A` fora de `B`.	Todo `A` é `B`.

Universal restringe, sem criar X: “todo A é B” sozinho não garante que exista A. “Algum” e indivíduo identificado afirmam existência. Se o enunciado estabelecer outra convenção, siga-a. Com três classes, hachure primeiro as regiões vedadas; só depois situe os X. Se um X couber em duas sub-regiões, deixe-o na fronteira, sem escolher o lado que favorece a resposta.

Premissas	Consequência segura / limite
`A ⊆ B`, `B ⊆ C`	`A ⊆ C`; inclusão não se inverte.
Algum `A` é `C`, `A ⊆ B`	Algum `B` é `C`; existência sobe para o conjunto maior.
Algum `B` é `C`, `A ⊆ B`	Pode estar fora de `A`; existência não desce.
`A ⊆ B`, nenhum `B` é `C`	Nenhum `A` é `C`.
Algum `A` é `B`, nenhum `B` é `C`	Algum `A` não é `C`.

Necessário: vale em todo diagrama compatível. Possível: cabe em algum. Incompatível: viola premissa. Um desenho favorável prova possibilidade, não necessidade.