Operações com conjuntos

Qual é o universo e que região a frase seleciona? Fixe $U$ antes de falar em “fora” ou “nenhum”; complemente apenas em relação a ele. $|A|$ é a cardinalidade de $A$ : repetição e ordem de escrita não contam.

Elemento, conjunto e região

Notação	Leia sem trocar as unidades
$x\in A$	Objeto $x$ pertence a $A$ .
$A\subseteq B$	Todo elemento de $A$ pertence a $B$ ; igualdade é possível.
$A\subsetneq B$	$A$ está contido em $B$ e $A\ne B$ .
$\varnothing\subseteq A$	O vazio está contido em todo conjunto; isso não diz $\varnothing\in A$ .

$x\in A$ equivale a $\{x\}\subseteq A$ , mas não a $\{x\}\in A$ . Ainda, $|\varnothing|=0$ e $|\{\varnothing\}|=1$ ; mesma cardinalidade entre conjuntos não implica igualdade de elementos.

Frase	Região / operação
A ou B, pelo menos um	$A\cup B$ : inclui quem está em ambos.
A e B, ambos	$A\cap B$ : exige as duas condições.
A, mas não B	$A\setminus B=A\cap B^c$ : a ordem importa.
Exatamente um dos dois	$A\triangle B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)$ .
Nenhum dos dois	$(A\cup B)^c$ : fora dos dois.
Não ambos	$(A\cap B)^c$ : basta faltar uma condição.
Somente A entre três	$A\setminus(B\cup C)$ .

O complemento é $A^c=U\setminus A$ ; conjuntos disjuntos têm $A\cap B=\varnothing$ . “Nenhum” e “não ambos” normalmente escolhem regiões diferentes.

Simplifique sem mudar a região

Lei	Formas para recuperar
Repetição e extremos	$A\cup A=A$ , $A\cap A=A$ ; $A\cup\varnothing=A$ , $A\cap U=A$ , $A\cup U=U$ , $A\cap\varnothing=\varnothing$ .
Troca e agrupamento	União e interseção admitem comutatividade e associatividade, sem trocar a operação.
Absorção	$A\cup(A\cap B)=A$ ; $A\cap(A\cup B)=A$ .
Distributividade	$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ ; $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$ .
De Morgan	$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$ ; $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$ .

Ao complementar uma expressão composta, complemente cada parcela e troque união/interseção. Valem também $A\cup A^c=U$ , $A\cap A^c=\varnothing$ e $(A^c)^c=A$ .

Conte sem sobrepor regiões

Para conjuntos finitos $A,B\subseteq U$ , a inclusão-exclusão retira quem foi contado duas vezes:

|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|,\qquad |A\triangle B|=|A|+|B|-2|A\cap B|.

Somente $A$ : $|A|-|A\cap B|$ ; nenhum: $|U|-|A\cup B|$ . Para conferir dados com $U$ finito:

\max(0,|A|+|B|-|U|)\le |A\cap B|\le\min(|A|,|B|).

Três conjuntos: comece pelo centro. Uma interseção de pares, como $A\cap B$ , inclui a região tripla; a região “A e B, mas não C” é $|A\cap B|-|A\cap B\cap C|$ . Preencha tripla → pares exclusivos → conjuntos exclusivos → fora da união.

|A\cup B\cup C| =|A|+|B|+|C| -|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C| +|A\cap B\cap C|.

“Pelo menos dois” = soma das três interseções de pares menos duas vezes a tripla. Ao final, nenhuma região pode ser negativa e a soma de todas, inclusive fora da união, deve ser $|U|$ .