Problemas aritméticos

Recupere a relação antes de calcular: qual é a base da fração ou do percentual, que grandeza se conserva, quais são as unidades e o que a pergunta exige? Valide sinal, inteireza e ordem de grandeza na resposta.

1. Base, razão e variação

Pista	Modelo decisivo	Cuidado
“fração de”, “do restante”	multiplique pela base daquele momento	após gastar parte do total, o restante vira nova base
razão $a:b:c$ de um total $T$	parcelas $Ta/(a+b+c)$ etc.	divisão inversa a $a$ e $b$ usa pesos $1/a:1/b$
proporcionalidade direta	$y=kx$ : quociente $y/x$ constante	variar no mesmo sentido, por si só, não prova proporcionalidade
proporcionalidade inversa	$xy=k$ : produto constante	trabalho, jornada e produtividade precisam ser comparáveis
aumento/desconto de $p\%$	fatores $1+p/100$ e $1-p/100$	aplique sempre sobre a base indicada

Percentuais sucessivos multiplicam fatores. Aumento de 20% e desconto de 20% dão $1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96$ do inicial. Para reaver o valor antes de um desconto, divida pelo fator final. De 40% a 50% há 10 p.p., mas aumento relativo de $10/40=25\%$ .

Juros: identifique primeiro o capital $C$ efetivamente financiado (preço à vista menos entrada), a taxa decimal $i$ por período e o tempo $t$ na mesma unidade da taxa. O montante $M$ é capital mais juros: em juros simples, $M=C(1+it)$ , pois cada período incide sobre $C$ ; em juros compostos, $M=C(1+i)^t$ , pois cada período incide sobre o montante anterior. Uma prestação futura se compara ao saldo financiado após o pagamento imediato, não ao preço cheio.

2. Médias, taxas e conservação

Pergunta	Recupere	Condição
média de grupos	soma de cada grupo $=$ média $\times$ tamanho; média total $=\dfrac{\text{somas}}{\text{tamanhos}}$	média simples das médias só se os grupos tiverem tamanhos iguais
velocidade média	$\dfrac{d_{\rm total}}{t_{\rm total}}$	distâncias iguais a $v_1,v_2$ dão $\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$
produção	quantidade $=$ taxa unitária $\times$ agentes $\times$ tempo	taxa unitária: produção por agente e unidade de tempo, mantidas as condições
trabalho conjunto	quem faz o todo em $t$ tem taxa $1/t$ ; somam-se taxas simultâneas	taxa constante e trabalho acumulável; mudanças de equipe exigem separar etapas
entrada e saída	variação $=$ vazão líquida $\times$ tempo	vazão líquida: entradas menos saídas, em unidades compatíveis
encontro / perseguição	distância relativa $=$ velocidade relativa $\times$ tempo	sentidos opostos: soma; mesmo sentido: diferença, se há aproximação
mistura	soluto $S=cV$ ; $c_f=\dfrac{c_1V_1+c_2V_2}{V_1+V_2}$	volumes aditivos; com água, $S$ fica; com soluto puro, $S$ e total crescem

A média ponderada reconstrói soma ou quantidade conservada: $\bar x=\sum w_ix_i/\sum w_i$ , com pesos correspondentes a pessoas, massa ou volume. Não some tempos para trabalho conjunto nem calcule média de velocidades sem reconstruir distâncias e tempos.

3. Tradução de frases e inteiros

Dê nome à incógnita com unidade; traduza cada relação e teste a solução no texto. Idades avançam pelo mesmo intervalo, e a diferença entre elas permanece. Se soma e diferença de dois valores são $S,D$ , os valores são $(S+D)/2$ e $(S-D)/2$ .
Algarismos $x,y$ nas dezenas e unidades formam $10x+y$ ; ao inverter, $10y+x$ . Três inteiros consecutivos podem ser escritos $x-1,x,x+1$ .
Primeira nova coincidência de ciclos: MMC dos períodos. Agrupamento máximo igual, sem sobra: MDC. Resto da divisão por $d$ : $n=dq+r$ , $0\le r<d$ .
Sequência: compare diferenças, razões, alternância e posição; uma regra fornecida pelo enunciado determina a continuação. Poucos termos isolados podem admitir mais de uma regra.

4. Unidade e conferência

$1\,\text{h}=60\,\text{min}$ ; $1\,\text{km}=1000\,\text{m}$ ; $1\,\text{kg}=1000\,\text{g}$ ; $1\,\text{L}=1000\,\text{mL}$ ; $1\,\text{m/s}=3{,}6\,\text{km/h}$ . Assim, 2 horas e 15 minutos são $2{,}25$ horas, e não $2{,}15$ .

Fecho: a resposta usa a base e a taxa certas? A relação direta/inversa foi justificada? As unidades coincidem? A solução satisfaz restrições do contexto e responde à grandeza pedida?