Problemas geométricos

Primeiro decida o que mede: cerca/contorno → perímetro (comprimento); revestimento → área (superfície); recipiente → volume ou capacidade (espaço interno). Desenho fora de escala não comprova lados iguais, paralelismo nem ângulo reto. Confira hipótese, unidade e grandeza pedida antes da fórmula.

1. Relações que habilitam a conta

Configuração	Relação e condição
ângulos	complementares somam $90^\circ$ ; suplementares, $180^\circ$ ; opostos pelo vértice são iguais; em torno de ponto, $360^\circ$
duas paralelas e transversal (reta que corta ambas)	correspondentes e alternos são iguais; colaterais são suplementares; Tales compara segmentos correspondentes nas transversais
triângulo	ângulos internos somam $180^\circ$ ; ângulo externo soma os dois internos não adjacentes; isósceles tem ângulos opostos aos lados iguais
três lados positivos, maior $c$	há triângulo com área positiva somente se $c<a+b$ ; igualdade produz figura degenerada
triângulo retângulo	Pitágoras: catetos $a,b$ , hipotenusa $c$ , $a^2+b^2=c^2$ ; diagonal do quadrado de lado $l$ : $l\sqrt2$

Semelhança: confirme ângulos e lados correspondentes. Se o fator entre comprimentos correspondentes é $k=L_2/L_1>0$ , perímetros variam por $k$ , áreas por $k^2$ e volumes por $k^3$ . Em escala $1:n$ , a razão desenho/real é $1/n$ para comprimentos, $1/n^2$ para áreas e $1/n^3$ para volumes. Tales só permite proporções se o paralelismo estiver dado ou provado.

2. Figuras planas: borda, superfície e recorte

Figura	Perímetro ou ângulo	Área
quadrado, lado $l$	$4l$	$l^2$
retângulo, lados $a,b$	$2(a+b)$	$ab$
triângulo, base $b$ , altura $h$	—	$bh/2$
equilátero, lado $l$	cada ângulo $60^\circ$	$l^2\sqrt3/4$
paralelogramo	—	$bh$
trapézio, bases $B,b$	—	$(B+b)h/2$
losango, diagonais $D,d$	—	$Dd/2$

Altura é perpendicular à base, não um lado inclinado qualquer. Triângulos sobre a mesma reta com a mesma altura têm áreas proporcionais às bases. Região com recortes: some partes sem sobreposição ou subtraia recortes da figura maior; só segmentos do contorno solicitado entram no perímetro.

Polígono simples de $n\ge3$ lados: soma dos ângulos internos $(n-2)180^\circ$ . Num polígono regular de número par de vértices, o maior afastamento entre vértices ocorre em opostos, alinhados com o centro.

Circunferência é contorno; círculo é superfície. Para raio $r$ e diâmetro $d=2r$ : comprimento $2\pi r$ ; área $\pi r^2$ . Arco (parte do contorno) de ângulo central $\theta$ em graus: $\theta(2\pi r)/360^\circ$ ; setor (parte da superfície): $\theta\pi r^2/360^\circ$ . Coroa (anel entre círculos concêntricos de raios $R>r$ ): $\pi(R^2-r^2)$ .

Tangência externa de duas circunferências: elas se tocam em um ponto, e a distância entre os centros é a soma dos raios. Em várias tangências, escreva uma equação por par de centros antes de resolver.

3. Sólidos: volume ou material das faces?

Sólido	Volume	Superfície quando pertinente
prisma, base de área $A_b$ , altura perpendicular $h$	$A_bh$	prisma reto: lateral $P_bh$ , total fechado $P_bh+2A_b$ , com $P_b$ perímetro da base
paralelepípedo retângulo, lados $a,b,c$ ; cubo, aresta $l$	$abc$ ; $l^3$	caixa sem tampa: base e laterais; não conte face ausente
cilindro circular reto, raio $r$ , altura $h$	$\pi r^2h$	lateral $2\pi rh$ ; total fechado $2\pi rh+2\pi r^2$
pirâmide; cone circular reto	$A_bh/3$ ; $\pi r^2h/3$	$h$ é perpendicular à base

Com mesma base e altura, cone tem $1/3$ do volume do cilindro; pirâmide, $1/3$ do prisma. Em recipiente cônico invertido, metade da altura ocupada forma cone semelhante com $1/8$ do volume; tempo de enchimento depende do volume e da vazão, não só da altura.

4. Unidade é parte da resposta

$1\,\text{m}^2=10\,000\,\text{cm}^2$ ; $1\,\text{m}^3=1\,000\,000\,\text{cm}^3=1000\,\text{L}$ ; $1\,\text{L}=1\,\text{dm}^3=1000\,\text{cm}^3$ . Ao mudar unidade de comprimento por fator $n$ , a área muda por $n^2$ e o volume por $n^3$ . Preserve $\pi$ se a prova não indicar aproximação.