Inferência estatística: estimação e testes

Na U053, aprendemos que uma estatística muda de amostra para amostra e, por isso, tem uma distribuição amostral. Agora essa variabilidade vira ferramenta.

A pergunta central é:

como usar uma amostra para aprender algo sobre um parâmetro desconhecido sem confundir evidência com certeza?

O fluxo desta unidade é:

parâmetro desconhecido → estatística da amostra → estimador → incerteza → intervalo ou teste → conclusão limitada pela evidência

O edital reúne três frentes:

1. estimação pontual — escolher um único valor para representar o parâmetro;
2. estimação intervalar — construir uma faixa compatível com a incerteza;
3. teste de hipóteses — confrontar uma afirmação sobre o parâmetro com os dados.

Regressão linear e técnicas de amostragem possuem itens próprios no edital e permanecem para U055.

1. Parâmetro, estimador e estimativa: três papéis diferentes

Um parâmetro é uma característica da população ou do modelo probabilístico, como:

[ \mu,\qquad \sigma^2,\qquad p,\qquad \theta. ]

Ele é desconhecido no problema de inferência.

Um estimador é uma estatística usada para aprender sobre esse parâmetro. Antes de observar os dados, é variável aleatória. Por exemplo,

[ \bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i ]

pode ser estimador de (\mu).

Depois que a amostra produz valores (x_1,\ldots,x_n), o número calculado,

[ \bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, ]

é a estimativa observada.

Retenha:

parâmetro = alvo; estimador = regra aleatória; estimativa = valor obtido.

2. O que torna um estimador desejável?

Não basta produzir um número. Queremos entender como a regra se comporta se o experimento de amostragem fosse repetido.

2.1 Viés

Se (T) estima (\theta), seu viés é

[ \operatorname{Bias}(T)

E(T)-\theta. ]

O estimador é não viesado ou centrado quando

[ E(T)=\theta. ]

Não viesado não significa que cada estimativa será igual ao parâmetro. Significa que, sob repetição, o centro da distribuição de (T) coincide com (\theta).

2.2 Variância e eficiência

Entre estimadores comparáveis e não viesados para o mesmo parâmetro, menor variância significa maior concentração em torno do alvo.

Em uma comparação restrita a uma classe de estimadores, chamamos de mais eficiente aquele que alcança menor variância, quando as condições da comparação são satisfeitas.

A palavra “eficiente” não autoriza comparar regras que estimam parâmetros diferentes ou ignorar viés sem explicar o critério.

2.3 Erro quadrático médio

O erro quadrático médio combina dispersão e viés:

[ E[(T-\theta)^2]

\operatorname{Var}(T) + [\operatorname{Bias}(T)]^2. ]

Isso permite comparar um estimador pouco viesado e muito estável com outro não viesado, porém muito disperso.

2.4 Consistência

Uma sequência de estimadores (T_n) é consistente para (\theta) quando

[ T_n\xrightarrow{P}\theta \qquad\text{quando }n\to\infty. ]

Ou seja: com o crescimento da amostra, a regra tende a se concentrar arbitrariamente perto do parâmetro.

Não confunda:

• não viés é uma propriedade de (E(T_n));
• consistência é um comportamento assintótico;
• um estimador pode ser viesado em amostras finitas e ainda assim ser consistente.

3. Método dos momentos: igualar comportamento teórico e amostral

Os momentos da U052 reaparecem como método de estimação.

Se um modelo possui parâmetro (\theta) e

[ E_\theta(X)=m_1(\theta), ]

podemos igualar o primeiro momento teórico ao primeiro momento amostral:

[ m_1(\theta)

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i. ]

Com vários parâmetros, igualamos tantos momentos quanto forem necessários.

Exemplo hipotético

Se (X) é exponencial com média (\theta), então

[ E(X)=\theta. ]

Igualando o momento teórico à média amostral,

[ \hat\theta_{\text{momentos}}

\bar X. ]

O princípio é:

momento teórico = momento amostral → resolver para o parâmetro.

O método dos momentos não é definido por minimizar soma de quadrados. Esse é outro critério de estimação, tratado de modo próprio no item de regressão.

4. Máxima verossimilhança: qual parâmetro torna os dados observados mais compatíveis com o modelo?

Suponha uma amostra independente (x_1,\ldots,x_n) de uma distribuição com função (f(x;\theta)).

A função de verossimilhança trata os dados observados como fixos e o parâmetro como argumento:

[ L(\theta)

\prod_{i=1}^{n} f(x_i;\theta), ]

no caso independente.

O estimador de máxima verossimilhança escolhe o valor de (\theta) que maximiza (L(\theta)).

Na prática, costuma-se trabalhar com a log-verossimilhança,

[ \ell(\theta)=\log L(\theta), ]

porque produtos se transformam em somas e o ponto de máximo é preservado quando o logaritmo é crescente.

Exemplo hipotético: Bernoulli

Se (X_i\in{0,1}) e

[ P(X_i=1)=p, ]

então

[ L(p)

p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}. ]

A maximização conduz a

[ \hat p

\frac{1}{n}\sum x_i. ]

Aqui a proporção amostral surge como estimador de máxima verossimilhança.

Pegadinha: máxima verossimilhança maximiza uma função do parâmetro para os dados observados; não é o mesmo que declarar “qual é a probabilidade de o parâmetro ser verdadeiro” em uma análise frequentista.

5. Suficiência: resumir sem perder informação sobre o parâmetro

Uma estatística (T(X_1,\ldots,X_n)) é suficiente para (\theta) quando, conhecido (T), o restante da amostra não acrescenta informação sobre (\theta) no sentido probabilístico da definição.

Uma forma operacional poderosa é o teorema da fatoração. Se a função conjunta da amostra puder ser escrita como

[ f(x_1,\ldots,x_n;\theta)

g(T(x_1,\ldots,x_n),\theta), h(x_1,\ldots,x_n), ]

em que (h) não depende de (\theta), então (T) é suficiente para (\theta).

Exemplo: amostra de Poisson

Se (X_1,\ldots,X_n) são independentes e

[ X_i\sim\operatorname{Poisson}(\theta), ]

a função conjunta é proporcional, em relação a (\theta), a

[ e^{-n\theta}\theta^{\sum x_i}. ]

Toda a dependência dos dados em relação a (\theta) ocorre por

[ T=\sum_{i=1}^{n}X_i. ]

Logo, a soma é estatística suficiente para (\theta).

Uma soma que omite parte da amostra, como (X_1+X_2) quando há (X_3), em geral não carrega toda essa informação.

6. Estimação intervalar: reconhecer a incerteza em vez de escondê-la

Uma estimativa pontual não mostra quão incerta é a informação.

Um intervalo acrescenta duas peças:

• um centro, geralmente ligado a um estimador;
• uma margem associada à variabilidade amostral e ao nível adotado.

A forma típica de muitos intervalos é

[ \text{estimativa} \pm \text{quantil} \times \text{erro padrão}. ]

A distribuição usada depende do problema e das hipóteses.

7. Intervalo de confiança: a probabilidade pertence ao procedimento

Considere, por exemplo, uma população normal com média (\mu) e desvio padrão populacional conhecido (\sigma).

Um intervalo de confiança bilateral de nível (1-\alpha) para (\mu) é

[ \bar X \pm z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n}. ]

O ponto conceitual mais importante é a interpretação frequentista.

Antes de observar a amostra, os limites do intervalo são aleatórios. O procedimento é construído para que, sob repetição, uma fração (1-\alpha) dos intervalos produzidos cubra o parâmetro verdadeiro.

Depois que um intervalo específico foi calculado, (\mu) é tratado como constante. Portanto, na interpretação frequentista usual, não se diz que “há 95% de probabilidade de (\mu) estar neste intervalo já observado”.

O que alarga ou estreita o intervalo?

Mantidas as demais condições:

• maior nível de confiança → quantil maior → intervalo mais largo;
• amostra maior → erro padrão menor → intervalo mais estreito;
• maior dispersão → intervalo mais largo.

8. Média com variância desconhecida: a distribuição t entra na estimativa intervalar

Se a população é normal, (\sigma) é desconhecido e usamos o desvio padrão amostral (S), então

[ T

\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n} \sim t_{n-1}. ]

Assim, o intervalo bilateral para (\mu) é

[ \bar X \pm t_{1-\alpha/2,n-1} \frac{S}{\sqrt n}. ]

Em amostras pequenas, as caudas mais pesadas da distribuição t refletem a incerteza adicional introduzida pela estimação de (\sigma).

À medida que os graus de liberdade crescem, a t se aproxima da normal padrão.

9. Intervalo de credibilidade: a probabilidade pertence ao parâmetro no modelo bayesiano

A estimação bayesiana muda a estrutura probabilística.

Começamos com:

1. uma distribuição a priori para o parâmetro;
2. uma verossimilhança para os dados;
3. a regra de Bayes para obter a distribuição a posteriori.

Em forma proporcional,

[ \pi(\theta\mid x) \propto L(\theta\mid x)\pi(\theta). ]

Um intervalo de credibilidade de (95%) é construído para conter (95%) da probabilidade a posteriori atribuída a (\theta), conforme o critério escolhido para o intervalo.

Por isso, no modelo bayesiano, faz sentido afirmar uma probabilidade posterior sobre o parâmetro.

Confiança × credibilidade

Dois intervalos podem ter os mesmos números em algum caso particular e ainda assim ter interpretações diferentes.

10. Teste de hipóteses: medir a incompatibilidade dos dados com uma afirmação de referência

Um teste começa com duas afirmações:

• (H_0): hipótese nula;
• (H_1) ou (H_A): hipótese alternativa.

O procedimento escolhe uma estatística cujo comportamento sob (H_0) seja conhecido ou aproximável.

A lógica é:

se (H_0) fosse verdadeira, quão extremo seria observar evidência como a obtida?

Se os dados caem em uma região considerada suficientemente incompatível com (H_0), rejeitamos (H_0).

Se não, não rejeitamos (H_0).

Não rejeitar não equivale a provar que (H_0) é verdadeira.

11. Hipótese simples e hipótese composta

Uma hipótese é simples quando especifica completamente a distribuição relevante.

Exemplo, em um modelo normal com variância conhecida:

[ H_0:\mu=10 ]

é simples em relação ao parâmetro (\mu).

Uma hipótese é composta quando contém vários valores possíveis.

Por exemplo,

[ H_1:\mu>10 ]

é composta, pois inclui infinitos valores de (\mu).

A distinção importa porque probabilidades de erro e potência podem depender de qual valor da hipótese composta é o verdadeiro.

12. Erros do teste, significância e potência

Há duas formas clássicas de errar:

Erro do tipo I

Rejeitar (H_0) quando (H_0) é verdadeira.

O nível de significância (\alpha) controla a probabilidade desse erro no desenho do teste:

[ \alpha

P(\text{rejeitar }H_0\mid H_0\text{ verdadeira}), ]

na situação simples ou na formulação correspondente do teste.

Erro do tipo II

Não rejeitar (H_0) quando a alternativa relevante é verdadeira.

Denotamos essa probabilidade por

[ \beta. ]

Potência

A potência é a probabilidade de rejeitar (H_0) quando o valor alternativo considerado é verdadeiro:

[ \text{potência}

1-\beta. ]

Logo:

• potência alta = boa capacidade de detectar uma diferença real;
• potência não é a probabilidade de “não rejeitar uma nula falsa”.

Em geral, para um efeito fixo e demais condições comparáveis, aumentar o tamanho da amostra tende a aumentar a potência.

13. Valor-p: evidência contra a nula, não probabilidade da nula

O valor-p é calculado supondo (H_0) e mede quão extremo é o resultado observado, ou mais extremo, segundo a estatística escolhida.

Uma formulação operacional:

[ p\le\alpha \quad\Rightarrow\quad \text{rejeitar }H_0. ]

Se

[ p>\alpha, ]

não rejeitamos (H_0).

Pegadinhas:

• valor-p não é (P(H_0\text{ verdadeira}\mid \text{dados}));
• valor-p pequeno não mede, sozinho, o tamanho ou a importância prática do efeito;
• valor-p grande não prova ausência de efeito.

14. Teste t de Student para uma média

Suponha uma amostra aleatória de população normal, com média desconhecida (\mu) e variância desconhecida.

Para testar

[ H_0:\mu=\mu_0, ]

usamos

[ T

\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}. ]

Sob (H_0),

[ T\sim t_{n-1}. ]

A alternativa define a cauda:

• (H_1:\mu<\mu_0) → cauda esquerda;
• (H_1:\mu>\mu_0) → cauda direita;
• (H_1:\mu\neq\mu_0) → duas caudas.

Exemplo hipotético

Uma amostra de tamanho (n=25) tem

[ \bar x=52,\qquad s=10. ]

Queremos testar

[ H_0:\mu=50 ]

contra

[ H_1:\mu>50. ]

A estatística é

[ t

\frac{52-50}{10/\sqrt{25}}

]

A decisão exige comparar esse valor com a distribuição (t_{24}) no nível de significância escolhido ou calcular o valor-p.

A fórmula produz a evidência; o nível e a alternativa determinam a regra de decisão.

15. Teste qui-quadrado para independência

Duas variáveis categóricas podem ser organizadas em uma tabela de contingência.

A hipótese nula é:

[ H_0:\text{as variáveis são independentes}. ]

Sob independência, a frequência esperada da célula ((i,j)) é

[ E_{ij}

\frac{(\text{total da linha }i)(\text{total da coluna }j)} {\text{total geral}}. ]

A estatística é

[ \chi^2

\sum_{i,j} \frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}, ]

em que (O_{ij}) é a frequência observada.

Com (r) linhas e (c) colunas, os graus de liberdade são

[ (r-1)(c-1). ]

Valores grandes de (\chi^2) indicam maior discrepância entre observado e esperado sob independência.

Se a estatística observada fica abaixo do valor crítico da cauda direita, não rejeitamos (H_0).

16. Outros usos do qui-quadrado dentro do mesmo mecanismo

O nome “teste qui-quadrado” pode aparecer em diferentes problemas.

Aderência

Compara frequências observadas com frequências esperadas por um modelo categórico:

[ \chi^2

\sum \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}. ]

Os graus de liberdade dependem do número de categorias e de parâmetros estimados a partir dos dados.

Variância de uma população normal

Se a população é normal, para testar uma hipótese sobre (\sigma^2), pode-se usar

[ \chi^2

\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}, ]

que, sob a hipótese nula apropriada, segue uma distribuição qui-quadrado com (n-1) graus de liberdade.

O contexto da questão determina qual estatística qui-quadrado é pertinente.

17. Como intervalos e testes se conectam

Para muitos procedimentos bilaterais construídos pela mesma distribuição e pelo mesmo nível:

• se o valor postulado por (H_0) fica fora do intervalo de confiança de nível (1-\alpha), o teste bilateral no nível (\alpha) rejeita (H_0);
• se fica dentro, o teste correspondente não rejeita.

A equivalência depende de usar procedimentos compatíveis. Não é uma regra para misturar qualquer intervalo com qualquer teste.

18. Pegadinhas de alto rendimento

1. Estimador = estimativa. Não: o primeiro é uma regra aleatória; a segunda é o valor observado.
2. Não viesado = sempre correto. Não: é uma propriedade de esperança.
3. Consistente = não viesado em todo (n). Não: consistência é assintótica.
4. Método dos momentos minimiza soma de quadrados. Não: iguala momentos amostrais e teóricos.
5. Verossimilhança é probabilidade posterior do parâmetro. Não no paradigma frequentista.
6. Intervalo de confiança de 95% dá 95% de probabilidade ao parâmetro fixo depois de observado o intervalo. Não na interpretação frequentista.
7. Intervalo de credibilidade tem a mesma interpretação do intervalo de confiança. Não.
8. (\alpha) é a probabilidade de erro do tipo II. Não: controla erro do tipo I.
9. Potência = (\beta). Não: potência (=1-\beta).
10. Não rejeitar (H_0) significa aceitá-la como verdadeira. Não.
11. Valor-p é a probabilidade de (H_0) ser verdadeira. Não.
12. Teste t de uma média com (\sigma) desconhecido usa (\sigma/\sqrt n). Na forma clássica, usa (S/\sqrt n).
13. Qui-quadrado de independência mede diferença entre médias. Não: compara frequências observadas e esperadas.

19. Fronteira com U055

U054 encerra o item 3 do edital.

U055 tratará os itens 4 e 5: regressão linear, mínimos quadrados e máxima verossimilhança no contexto do modelo de regressão, análise de variância, resíduos, técnicas de amostragem e tamanho amostral.

Retenha a sequência:

estimar um parâmetro → quantificar incerteza → formular hipótese → medir evidência → decidir sem ultrapassar o que os dados sustentam.