1. Estruturas lógicas

1. Encontrar uma disposição que obedeça a todas as regras

Num cenário hipotético, Ana, Beto, Caio, Dora e Eva devem ocupar cinco posições, uma pessoa em cada posição. Caio vem imediatamente depois de Ana; Dora vem antes de Ana; Beto ocupa a quinta posição; Eva vem antes de Dora.

O primeiro passo é separar o que as frases realmente impõem:

• Ana e Caio ficam juntos, nessa ordem: [Ana Caio];
• Eva vem antes de Dora, que vem antes de Ana;
• Beto fica no último lugar.

Eva, Dora e o bloco [Ana Caio] precisam ocupar as quatro primeiras posições nessa sequência. Portanto:

Todas as escolhas ficaram forçadas. A solução não surgiu de uma preferência pela ordem dos nomes: surgiu da aplicação simultânea das condições.

Esse é o núcleo de estruturas lógicas neste recorte: representar pessoas, objetos, lugares ou eventos, reduzir as possibilidades e deduzir o que as condições permitem ou obrigam. Os demais cenários didáticos deste capítulo também são hipotéticos.

2. Separar elementos, possibilidades e restrições

Antes de resolver, anote três coisas: o que será organizado, quais valores cada elemento pode receber e quais condições limitam as escolhas. Essas condições são chamadas de restrições.

Numa fila, os elementos são as pessoas e os valores são as posições. Numa escala, podem ser tarefas e dias. Num agrupamento, pessoas e equipes. Uma solução precisa atribuir os valores exigidos a todos os elementos e respeitar todas as restrições.

Confira desde o início se cada valor pode se repetir, se todos precisam ser usados e se há capacidade por destino. “Quatro tarefas em dois dias” não informa, por si só, duas tarefas por dia, nem obriga a ocupar ambos os dias. Uma distribuição equilibrada só será exigida se o enunciado a determinar.

Uma atribuição ainda incompleta, mesmo sem erro aparente, não prova que existe solução: pode ser impossível preencher o restante. E eliminar uma opção não escolhe automaticamente outra. Se Paulo não está em X e ainda pode estar em Y ou Z, as duas possibilidades permanecem.

3. Traduzir sem acrescentar condições

3.1. Ordem, vizinhança e intervalo

“A vem antes de B” informa apenas que A tem posição anterior à de B. Já “A vem imediatamente antes de B” exige posições consecutivas, nessa ordem. “A fica ao lado de B” também exige posições consecutivas, mas admite [A B] e [B A].

Chamamos a ordem relativa de precedência; a ocupação de posições vizinhas, de adjacência. Em A, C, D, B, A precede B, embora não seja seu vizinho.

Se há exatamente uma pessoa entre A e B, as posições diferem por 2. Com duas pessoas entre eles, diferem por 3: são três passos de uma posição até a outra. Não confunda a diferença entre posições com o número de pessoas intermediárias.

3.2. Quantidades e condições

“Exatamente um” exige um e somente um. “Pelo menos um” admite um ou mais. “No máximo um” admite zero ou um. Não transforme mínimo ou máximo em quantidade exata.

Uma regra “se D entra no grupo, E entra também” proíbe D presente com E ausente. Ela permite E sem D quando as outras condições também permitirem. Se E estiver excluído, D também precisa ser excluído, pois sua entrada exigiria E.

“Lia participa somente se Nuno participar” impõe a mesma direção: a presença de Lia exige a de Nuno. A presença de Nuno, sozinha, não obriga Lia. “Lia participa se Nuno participar” troca a direção: Nuno exige Lia.

“A ou B” admite ambos quando não houver exclusividade expressa ou decorrente das demais restrições. “A ou B, mas não ambos” exige exatamente um. Já “somente Marta pode autorizar X” restringe o agente de uma eventual autorização; não afirma que X será autorizado.

Essas traduções bastam para aplicar as condições neste capítulo. Proposições, conectivos e tabelas-verdade desenvolvem sua avaliação formal; equivalências e leis de De Morgan aprofundam as transformações, sem serem pré-requisito para organizar os cenários aqui.

4. Representar para enxergar as consequências

4.1. Fila: posições, cadeias e blocos

Numere as posições e registre as fixações. Escreva A < B com o significado “A vem antes de B”. De A < B e B < C, obtemos A < B < C: A vem antes de C, mas isso não transforma ninguém em vizinho imediato.

Uma condição de vizinhança orientada forma um bloco, como [A B]. Em cinco posições, esse bloco só pode começar em 1, 2, 3 ou 4: começar em 5 deixaria B sem posição. Se a orientação não estiver definida, conserve os dois blocos possíveis. Confira também se eles cabem nas vagas restantes.

Quando o enunciado manda trocar posições sucessivamente, atualize a disposição após cada troca. Se o comando pergunta apenas onde termina uma pessoa, acompanhe sua posição: a troca seguinte usa o estado produzido pela anterior, não a fila inicial.

4.2. Círculo: o último também é vizinho do primeiro

Em uma mesa circular, não há extremos. Se a sequência em um sentido é A, B, C, D, E, os vizinhos de A são B e E. Esquecer o fechamento do círculo equivale a resolver outro problema.

Quando só as posições relativas importam, fixe uma pessoa como referência e distribua as demais ao redor dela. Girar o desenho inteiro não muda as vizinhanças. Inverter o sentido, porém, pode trocar esquerda por direita. Use a orientação fornecida pelo enunciado ou pelo desenho; a esquerda de uma pessoa depende de para onde ela está voltada. Para comparar vizinhos, não é necessário escolher qual sentido representa a esquerda.

4.3. Associação: cruzar categorias

Lia, Nuno e Olga ocupam setores distintos — Compras, Pessoal e Tecnologia da Informação — e trabalham em dias distintos — segunda, terça e quarta. Lia não está em Compras nem na segunda; Nuno está em Tecnologia da Informação na quarta; Compras corresponde à segunda.

Nuno já ocupa setor e dia definidos. Compras/segunda não pode ser de Lia nem de Nuno, logo pertence a Olga. Restam Pessoal/terça para Lia:

Uma associação um a um significa que cada pessoa recebe um valor e que esse valor não é compartilhado por outra pessoa. Confirmar Lia = Pessoal elimina os demais setores para Lia e Pessoal para as demais pessoas. Essa exclusão cruzada só vale quando a exclusividade fizer parte do problema.

Uma pista pode ligar setor e dia antes de identificar a pessoa. “Compras corresponde à segunda” permite transportar uma informação entre as categorias. Uma grade pessoa × setor e outra pessoa × dia ajudam a registrar confirmações e exclusões sem depender da memória.

4.4. Grupos: capacidade, mínimo e incompatibilidade

Em grupos, desenhe as vagas e anote pares obrigatórios, pares proibidos, capacidades e quantidades. Se A deve ficar com C e os grupos são duplas, {A,C} já completa uma dupla. Isso não cria ordem entre A e C.

Uma sala com limite de duas tarefas fecha ao receber A e B. Uma comissão de quatro membros com mínimo de dois auditores, se já tiver um auditor e dois não auditores, precisa de um auditor na última vaga. A incompatibilidade também usa capacidade: se dois elementos precisam ficar separados, devem existir destinos distintos disponíveis para eles.

Não confunda rótulos intercambiáveis com destinos diferentes. Se só importam os pares formados, trocar “Dupla 1” e “Dupla 2” preserva o agrupamento. Se as equipes são manhã e tarde, a troca pode alterar a solução, pois os destinos têm significado próprio.

5. Propagar descobertas antes de abrir casos

Uma atribuição deve produzir todas as consequências que dela decorrem. Ao fechar uma vaga exclusiva, retire-a dos outros elementos; ao atingir uma capacidade, feche o destino; ao ativar uma condição, aplique o que ela exige. Repetir esse processo até não surgir nova dedução é propagação de restrições.

Procure duas formas diferentes de escolha forçada:

• única opção para um elemento: Paula só pode trabalhar na terça; então trabalha na terça;
• único elemento para um valor obrigatório: Jurídico precisa ser usado e só cabe em Rui; então Rui fica em Jurídico, mesmo que ainda tivesse outras opções.

Há também uma reserva conjunta: se A e B só podem usar as vagas exclusivas 2 e 4, ambas ficam reservadas aos dois. Não sabemos quem ocupa qual, mas nenhum terceiro pode usá-las. Se três pessoas só couberem nessas mesmas duas vagas exclusivas, não há solução.

Quando a propagação parar, escolha um elemento com poucas opções e separe os casos. Em cada caso, conserve todas as regras originais. Encontrar uma dificuldade não autoriza descartar o caso; descarte-o quando houver violação demonstrada, como elemento sem opção, capacidade ultrapassada, mínimo inalcançável ou disputa por vaga exclusiva. A < B < C < A é outro exemplo: numa ordem estrita, ninguém pode vir antes de si mesmo.

Exemplo: P, Q e R ocupam os dias 1, 2 e 3, um por dia. P ocorre antes de R e Q não pode ficar no dia 2.

Os casos cobrem as duas posições restantes para Q e mostram duas soluções válidas. Abrir casos é investigação controlada; completar um deles não elimina automaticamente os demais.

6. Relações: só encadear o que a relação permite

Uma seta precisa ter sentido declarado: por exemplo, “A → B significa que A chefia diretamente B”. Essa seta representa uma relação entre pessoas; não é, nessa convenção, o símbolo de uma condição entre duas afirmações.

Se A está acima de B na mesma cadeia hierárquica e B está acima de C, A está acima de C. Mas isso não torna A chefe direto de C. Da mesma forma, A trabalhar diretamente com B e B trabalhar diretamente com C não obriga contato direto entre A e C.

Uma relação é transitiva quando o encadeamento de A com B e B com C garante a mesma relação de A com C. “Antes de” numa fila tem essa propriedade; “ao lado de” não tem: em A, B, C, A e C não são vizinhos.

Em parentesco, registre o vínculo e a geração informados. Se Ana é mãe de Bruno e Bruno é pai de Carla, Ana é avó de Carla. Isso não identifica a mãe de Carla, não afirma casamento e não cria outros parentescos por coincidência de nome. A aplicação das relações é desenvolvida em argumentação e inferências; aqui, interessa representar os vínculos sem acrescentar dados.

7. O comando decide o que precisa ser provado

Considere novamente as soluções Q, P, R e P, R, Q. Q pode ficar em primeiro, mas não deve ficar em primeiro. Já P fica antes de R em ambas, embora a ordem completa não seja única.

Para derrubar um “deve”, basta um contraexemplo: uma solução válida em que a afirmação seja falsa. Para provar um “não pode”, assuma a afirmação e mostre que ela torna impossível satisfazer todas as condições. Um cenário em que a afirmação não acontece, sozinho, não prova que ela seja impossível.

“Pode” inclui o que também é obrigatório: se ocorre em todas as soluções de um problema que tem solução, ocorre em pelo menos uma. Encontrar uma solução prova existência; provar uma conclusão necessária não exige necessariamente descobrir a ordem completa. Antes de concluir, confronte a configuração com todas as regras, inclusive negativas, mínimos e exclusividades.

8. Contar falas verdadeiras para filtrar cenários

Exatamente uma entre Ana, Beto e Caio retirou um documento. Ana diz “Beto retirou”; Beto diz “Caio retirou”; Caio diz “Eu não retirei”. O enunciado exige exatamente duas falas verdadeiras.

Examine todas as falas em cada cenário, sem presumir que uma pessoa sempre mente ou sempre diz a verdade:

Só o cenário Beto atende à quantidade exigida. A contagem de falas é uma restrição global, aplicada junto à regra de um único responsável. Se a fala combinar afirmações por “e”, ela só será verdadeira se todas forem verdadeiras; por “ou” inclusivo, basta uma. Dizer que uma frase inteira é falsa não torna automaticamente falsas todas as suas partes. A análise formal dessas combinações pertence a proposições e tabelas-verdade.

O procedimento de resolução permanece o mesmo: representar → traduzir → propagar → separar casos quando necessário → validar a resposta conforme o comando.