2. Proposições, conectivos e tabelas-verdade

1. Uma frase inteira pode ser falsa mesmo tendo uma parte verdadeira

Considere este cenário hipotético, com uma coleta e um relatório determinados:

• p: “A coleta terminou.”
• q: “O relatório está pronto.”

Se a coleta terminou, mas o relatório ainda não está pronto, a frase “a coleta terminou e o relatório está pronto” é falsa. A primeira parte verdadeira não salva a segunda parte falsa.

A lógica sentencial, também chamada proposicional, estuda esse mecanismo: como o valor da afirmação inteira depende dos valores de suas partes e da operação que as liga. Ela não consulta os fatos para descobrir se a coleta terminou; recebe ou considera os valores possíveis e calcula o resultado.

Uma tabela-verdade organiza todas essas possibilidades. Para construí-la, primeiro reconheça as afirmações, depois identifique a operação e seu alcance, e só então calcule.

2. O que pode receber verdadeiro ou falso?

Uma proposição é uma afirmação declarativa que, em contexto determinado, recebe exatamente um valor lógico: verdadeiro ou falso. Nas tabelas, usaremos V e F.

“O número 10 é par” é uma proposição verdadeira; “o número 10 é ímpar” é uma proposição falsa. Ser falsa não impede que uma afirmação seja proposição. Também não é necessário que o candidato saiba seu valor: “o relatório tem 80 páginas” pode ser avaliada, desde que o contexto identifique qual relatório está sendo mencionado.

Esse uso de dois valores exclusivos é chamado bivalência. Na lógica clássica adotada aqui, uma proposição não recebe os dois valores ao mesmo tempo, mantidos o sentido e o contexto.

2.1. Não confunda uma afirmação falsa com uma frase sem valor lógico

Perguntas como “o relatório está pronto?” e ordens como “entregue o relatório” não afirmam algo verdadeiro ou falso. Uma pergunta pode receber resposta; uma ordem pode ser cumprida. Isso não as transforma em proposições.

Uma exclamação pode conter uma afirmação avaliável: em “o relatório finalmente está pronto!”, a afirmação sobre o relatório pode ser representada logicamente. O ponto de exclamação, o número de verbos e a extensão da frase não decidem sua classificação.

Uma sentença aberta contém variável livre: algo ainda não determinado na afirmação. Em $x+2=7$, sem valor atribuído a $x$, não há uma afirmação fechada sobre um número específico. Substituir $x$ por 5 produz uma proposição verdadeira; substituir por 3 produz uma falsa. Também é possível fechar sentenças por expressões como “para todo” e “existe”, mas sua formalização pertence à lógica de predicados, fora deste recorte. A abertura decorre da variável livre, não apenas de ser difícil descobrir o valor.

O contexto também precisa fixar referências e sentidos. “Ele chegou hoje” pode expressar uma proposição quando sabemos quem é “ele” e a que dia “hoje” se refere. Uma ambiguidade precisa ser resolvida antes da formalização; ela não autoriza escolher silenciosamente a leitura mais conveniente.

Um limite diferente aparece no paradoxo do mentiroso: “esta própria frase é falsa”. Se a tratarmos como verdadeira, ela afirma sua falsidade; se a tratarmos como falsa, o que ela afirma passa a ser verdadeiro. Por isso, não a usamos como uma proposição comum com valor estável nesta abordagem bivalente. Isso é diferente de uma afirmação simplesmente falsa, como $10=11$.

3. Separe as afirmações, não apenas as palavras

Uma proposição simples, ou atômica, é tratada como uma unidade. Uma proposição composta é construída ao aplicar operações lógicas a uma ou mais proposições. Essas operações são os conectivos.

No cenário hipotético, p e q representam duas afirmações. “A coleta terminou e o relatório está pronto” combina ambas pela conjunção, escrita $p\land q$. A negação “a coleta não terminou” é escrita $\neg p$.

Não conte mecanicamente palavras “e” ou “ou”. “Ana e Bruno são irmãos”, em um exemplo hipotético, pode ser tratada como uma única relação entre duas pessoas; separar “Ana é irmão” e “Bruno é irmão” perde o sentido da frase. Já “Ana chegou e Bruno saiu” contém duas afirmações ligadas por um conectivo. Uma afirmação sobre relação causal também pode ser tratada como unidade: a palavra “consequência” não cria, sozinha, a estrutura “se… então”.

Cada letra representa uma afirmação completa e mantém o mesmo significado durante o problema. Se q é “o relatório está pronto”, não pode passar a significar “o relatório foi entregue” na metade da resolução.

4. Negação e alcance: qual parte está sendo invertida?

A negação troca verdadeiro por falso e falso por verdadeiro. Os símbolos $\neg p$ e $\sim p$ são formas usuais de escrever “não p”.

O alcance é a parte sobre a qual o conectivo atua. Compare:

• “Não é verdade que a coleta terminou e o relatório está pronto”: $\neg(p\land q)$, negação da afirmação composta inteira.
• “A coleta não terminou e o relatório está pronto”: $(\neg p)\land q$, negação apenas de p, seguida de conjunção com q.

Para avaliar a primeira, calcule a conjunção e inverta seu resultado. Para avaliar a segunda, inverta p e só então faça a conjunção. Os parênteses delimitam o alcance.

Negar é excluir exatamente a afirmação original. Trocar uma palavra por seu contrário pode não bastar: negar “o relatório tem mais de 80 páginas” é afirmar que ele tem no máximo 80, incluindo a igualdade. Não é apenas afirmar “tem menos de 80”.

5. “E”, “ao menos uma” e “exatamente uma”

A conjunção, $p\land q$, exige que as duas partes sejam verdadeiras. Retomando o cenário: para afirmar que a coleta terminou e o relatório está pronto, ambos os requisitos devem passar. Uma parte falsa derruba o conjunto. “Mas” e “embora”, quando ligam duas afirmações nessa leitura proposicional, preservam a exigência das duas; a formalização não registra o tom de contraste ou concessão.

A disjunção inclusiva, $p\lor q$, exige ao menos uma parte verdadeira. Se a coleta terminou, a disjunção já é verdadeira, esteja o relatório pronto ou não. Ambas verdadeiras também satisfazem a frase.

A disjunção exclusiva, $p\veebar q$ ou $p\oplus q$, exige exatamente uma parte verdadeira. Ela aparece quando o enunciado impõe “ou uma ou outra, mas não ambas”. Com as duas verdadeiras, a inclusiva passa e a exclusiva falha; com as duas falsas, ambas falham. Na leitura usual de prova, “ou” é inclusivo, salvo indicação de exclusividade pelo texto ou contexto.

Agora a tabela sintetiza esses critérios:

6. Condicional: a situação que quebra a promessa

Leia a condicional $p\to q$ como “se p, então q”. p é o antecedente, a condição apresentada; q é o consequente, aquilo que se afirma sob essa condição.

Use uma promessa hipotética: “se a coleta terminou, então o relatório está pronto”. A promessa é descumprida quando a coleta terminou e o relatório não está pronto. Se a coleta não terminou, a condição da promessa não se realizou; a frase não prometeu que o relatório estaria pronto nesse caso, nem que estaria ausente.

A condicional material é definida por essa regra de valores: só é falsa com antecedente verdadeiro e consequente falso.

Assim, antecedente falso ou consequente verdadeiro garantem que a condicional seja verdadeira. Isso não prova que a coleta ocorreu, nem que uma ação causou a outra. A promessa é uma ajuda para entender o único caso proibido; a tabela define uma operação sobre valores, sem exigir causalidade, ordem temporal ou tema comum entre as partes.

6.1. Suficiente e necessário: a seta tem direção

Quando $p\to q$ é aceita como uma regra verdadeira, p basta para garantir q: p é condição suficiente para q. Por outro lado, p não pode ser verdadeira com q falsa sem violar a regra: q é condição necessária para p.

Mas q pode ser verdadeira com p falsa. Portanto, a regra não autoriza inverter a seta.

Compare, em regras hipotéticas sobre um botão e um sinal:

• “O sinal acende se o botão é pressionado”: pressionar basta para acender; botão pressionado → sinal aceso.
• “O sinal acende somente se o botão é pressionado”: pressionar é exigido para acender; sinal aceso → botão pressionado.

“Somente se” apresenta a condição necessária, no lado para o qual a seta aponta.

7. Bicondicional: as duas direções

A bicondicional, $p\leftrightarrow q$, é lida “p se e somente se q”. Ela exige a relação nas duas direções: p garante q e q garante p.

Se os valores forem diferentes, uma dessas exigências falhará. Se ambos forem falsos, nenhuma direção terá antecedente verdadeiro e consequente falso. Por isso, a bicondicional é verdadeira quando os valores coincidem, inclusive quando ambos são falsos.

Também pode ser lida “p é condição necessária e suficiente para q”. Ela testa igualdade de valores; a disjunção exclusiva testa diferença.

8. Qual operação vem por último?

Uma fórmula é uma expressão construída com letras proposicionais e conectivos. Uma parte que também forma uma expressão completa é uma subfórmula. Em $(p\lor q)\land\neg r$, primeiro avalie $p\lor q$ e $\neg r$; depois combine seus resultados pela conjunção.

O conectivo que governa a fórmula inteira, aplicado por último, é o conectivo principal. Nesse caso, é a conjunção externa.

Compare $p\lor(q\land r)$ e $(p\lor q)\land r$. Com p verdadeira e r falsa, a primeira é verdadeira, qualquer que seja q; a segunda é falsa. O agrupamento muda o resultado.

Respeite os parênteses e a convenção de prioridade informada pela prova. Se a escrita abreviada permitir mais de um agrupamento, é preciso fixar a leitura antes do cálculo. Não existe uma escolha livre de parênteses para fazer uma alternativa funcionar.

9. Como construir a tabela completa

Cada letra distinta admite dois valores. Para duas letras, há $2\times2=4$ combinações; para três, $2\times2\times2=8$. Com n letras proposicionais distintas, a tabela completa tem $2^n$ linhas.

Repetir uma letra não cria outra proposição: $(p\land q)\lor(p\land\neg q)$ tem apenas p e q, portanto quatro linhas. Nomear a fórmula inteira por S também não acrescenta uma letra independente a ser contada.

Para evitar linhas repetidas ou ausentes, use blocos. Com três letras, p alterna a cada quatro linhas; q, a cada duas; r, a cada linha:

Outra ordem é válida se cada combinação aparecer uma vez. Depois, dê uma coluna a cada passo necessário e calcule de dentro para fora. Para $(p\lor q)\land\neg p$:

Na terceira linha, a disjunção é verdadeira porque q é verdadeira, e a negação é verdadeira porque p é falsa. A conjunção de ambos os resultados é verdadeira. Nas duas primeiras linhas, a negação falsa já torna a fórmula inteira falsa.

10. Quando basta uma atribuição — ou um raciocínio de trás para frente

Uma atribuição escolhe um valor para cada letra, correspondendo a uma linha da tabela. Se a prova já fixa os valores, avalie somente essa linha. Por exemplo, em $(p\to q)\leftrightarrow\neg r$, com p verdadeira, q falsa e r verdadeira:

1. a condicional é falsa;
2. a negação de r é falsa;
3. a bicondicional de dois valores iguais é verdadeira.

A falsidade de uma parte não torna toda fórmula falsa: o resultado depende do conectivo que a combina com as outras.

Se a prova fornece o valor da fórmula inteira, use o caso decisivo para voltar às partes. Por exemplo, se $(p\land q)\to r$ é falsa, seu antecedente é verdadeiro e seu consequente é falso. Portanto, p e q são verdadeiras e r é falsa.

Se uma condicional é verdadeira e seu consequente é falso, o antecedente precisa ser falso. Já saber apenas que ela é verdadeira não permite afirmar que as duas partes sejam verdadeiras: três combinações satisfazem a condicional. Em cada passo, conclua somente os valores que a informação realmente força.

11. O que a última coluna revela?

Depois de considerar todas as atribuições, a fórmula pode ser classificada:

No primeiro exemplo, p ou sua negação será verdadeira, qualquer que seja o valor de p. No segundo, nunca poderão ser verdadeiras ao mesmo tempo. No terceiro, a linha com p verdadeira e q falsa produz falsidade, mas as demais produzem verdade.

Uma única linha falsa elimina a possibilidade de tautologia, mas não prova contradição. Para provar contingência, basta encontrar uma linha verdadeira e outra falsa; não é necessário haver quantidades iguais dos dois valores.

Essas classificações dizem respeito à estrutura da fórmula sob as atribuições, não ao quanto sabemos sobre os fatos. A tabela constrói os resultados sem precisar transformar a fórmula. O assunto Equivalências e leis de De Morgan desenvolve como obter outras expressões com os mesmos resultados em todas as linhas.