Grandes números, limite central e distribuições amostrais — revisão rápida
Mapa
população → amostra aleatória → estatística → distribuição amostral → concentração → aproximação normal
Amostra aleatória
No modelo desta unidade, (X_1,\ldots,X_n):
- são independentes;
- têm a mesma distribuição.
Média amostral
[ \bar X=\frac{1}{n}\sum X_i ]
[ E(\bar X)=\mu, \qquad \operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}. ]
Erro padrão:
[ \frac{\sigma}{\sqrt n}. ]
Quadruplicar (n) → erro padrão cai pela metade.
Lei fraca dos grandes números
[ \bar X_n\xrightarrow{P}\mu. ]
Equivalente para a soma:
[ \frac{S_n}{n}\xrightarrow{P}\mu. ]
Não: (S_n\to\mu).
Lei forte
No caso clássico apropriado:
[ \bar X_n\to\mu ]
quase certamente.
Quase certa ⇒ em probabilidade.
Teorema central do limite
[ \frac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n} \xrightarrow{d} N(0,1). ]
Para (S_n=\sum X_i):
[ \frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt n} \xrightarrow{d} N(0,1). ]
Lei dos grandes números: onde a média se concentra.
Teorema central do limite: forma da flutuação padronizada.
Normal exata × aproximada
Se a população é normal:
[ \bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) ]
para qualquer (n).
Se a população não é normal, o teorema central do limite fornece aproximação para (n) grande, sob suas condições. Não há “(n=30)” universal.
Proporção amostral
[ E(\hat p)=p, \qquad \operatorname{Var}(\hat p)=\frac{p(1-p)}{n}. ]
População normal: distribuições amostrais
[ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}. ]
[ T=\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t_{n-1}. ]
Duas amostras normais independentes:
[ \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F_{n_1-1,n_2-1}. ]
Pegadinhas
- população vira normal → não;
- soma sem padronizar converge a normal padrão → não;
- erro padrão = (\sigma/n) → não;
- média de população normal é só aproximadamente normal → não;
- t usa (\sigma) desconhecido → não; usa (S);
- mais observações causam “compensação” do acaso → não.