Equivalências e leis de De Morgan

Equivalente: mesmo valor em todas as atribuições. Negação: valor oposto em cada atribuição. Uma coincidência não confirma equivalência; uma divergência a refuta. $P\equiv Q$ exatamente quando $P\leftrightarrow Q$ é tautologia.

Negue o grupo inteiro

Fórmula	Negação equivalente
$p\land q$	$\neg p\lor\neg q$ — basta uma parte falsa.
$p\lor q$	$\neg p\land\neg q$ — ambas precisam ser falsas.
$p\to q$	$p\land\neg q$ — antecedente verdadeiro e consequente falso.
$p\leftrightarrow q$	$(p\land\neg q)\lor(\neg p\land q)$ — valores diferentes.

De Morgan: negue as partes e troque $\land$ por $\lor$ , ou $\lor$ por $\land$ . Vale para cadeias do mesmo conectivo; em grupos aninhados, avance de fora para dentro. Elimine $\neg\neg p$ como $p$ .

$\neg\bigl(p\lor(q\land r)\bigr)\equiv\neg p\land(\neg q\lor\neg r).$

“Não ambos” = $\neg(p\land q)$ ; “nem um nem outro” = $\neg(p\lor q)$ . O “ou” padrão inclui ambas as alternativas, salvo exclusividade expressa.

Preserve a condicional ou a bicondicional

Transformação	Forma e cuidado
Eliminar a seta	$p\to q\equiv\neg p\lor q$ . Ambas são falsas somente com $p$ verdadeira e $q$ falsa.
Contrapositiva	$\neg q\to\neg p$ equivale a $p\to q$ .
Conversa	$q\to p$ não equivale em geral à original.
Inversa	$\neg p\to\neg q$ não equivale em geral à original; equivale à conversa.
Bicondicional	$p\leftrightarrow q\equiv(p\to q)\land(q\to p)\equiv(p\land q)\lor(\neg p\land\neg q)$ .

Negar os dois lados de uma bicondicional mantém a concordância: $\neg p\leftrightarrow\neg q\equiv p\leftrightarrow q$ .

Conectivos compostos: mantenha o antecedente inteiro e negue o consequente inteiro antes de abrir agrupamentos.

$\neg\bigl((p\lor q)\to r\bigr)\equiv(p\lor q)\land\neg r.$

$\neg\bigl(p\to(q\lor r)\bigr)\equiv p\land\neg q\land\neg r.$

A negação da bicondicional também equivale à disjunção exclusiva: $(p\lor q)\land\neg(p\land q)$ .

Simplifique com uma regra

Padrão	Resultado
$p\land p$ ; $p\lor p$	$p$
$p\land(q\lor r)$	$(p\land q)\lor(p\land r)$
$p\lor(q\land r)$	$(p\lor q)\land(p\lor r)$
$p\lor\neg p$ ; $p\land\neg p$	$\top$ (sempre verdadeira); $\bot$ (sempre falsa).
$p\land\top$ ; $p\lor\bot$	$p$
$p\lor\top$ ; $p\land\bot$	$\top$ ; $\bot$ , respectivamente.
$p\lor(p\land q)$ ; $p\land(p\lor q)$	$p$ — absorção.

Pode trocar a ordem ou reagrupar parcelas ligadas pelo mesmo $\land$ ou $\lor$ . Com conectivos misturados, preserve parênteses e aplique a regra correspondente. Substitua somente a parte equivalente; não mude o restante da estrutura.