Equivalências, leis de De Morgan e diagramas lógicos

Transformação segura de fórmulas proposicionais, negação de compostas e análise de relações categóricas por diagramas lógicos.

Equivalências, De Morgan e diagramas lógicos

Equivalência em uma linha

P \equiv Q \iff \text{mesmo valor em todas as atribuições}

uma linha igual não prova equivalência;
uma linha diferente refuta;
$P\equiv Q$ se $P\leftrightarrow Q$ for tautologia.

Equivalências indispensáveis

Forma	Equivalente
$\neg\neg p$	$p$
$p\to q$	$\neg p\lor q$
$p\to q$	$\neg q\to\neg p$
$\neg(p\to q)$	$p\land\neg q$
$p\leftrightarrow q$	$(p\to q)\land(q\to p)$
$p\leftrightarrow q$	$(p\land q)\lor(\neg p\land\neg q)$
$\neg(p\leftrightarrow q)$	$(p\land\neg q)\lor(\neg p\land q)$

Condicional: não confunda

A partir de $p\to q$	Forma	Equivale à original?
conversa	$q\to p$	não
inversa	$\neg p\to\neg q$	não
contrapositiva	$\neg q\to\neg p$	sim

Negação da condicional: mantém $p$ , nega $q$ e troca a seta por “e”.

Leis algébricas úteis

Padrão	Resultado
$p\land p$ ou $p\lor p$	$p$
$p\land q$	$q\land p$
$p\lor q$	$q\lor p$
$p\lor\neg p$	$\top$
$p\land\neg p$	$\bot$
$p\land\top$	$p$
$p\lor\bot$	$p$
$p\lor(p\land q)$	$p$
$p\land(p\lor q)$	$p$

Distributividade

p\land(q\lor r) \equiv (p\land q)\lor(p\land r)

p\lor(q\land r) \equiv (p\lor q)\land(p\lor r)

De Morgan

\neg(p\land q) \equiv \neg p\lor\neg q

\neg(p\lor q) \equiv \neg p\land\neg q

Negue cada parcela + troque o conectivo.

Cadeias

$\neg(p\land q\land r)\equiv\neg p\lor\neg q\lor\neg r$ .
$\neg(p\lor q\lor r)\equiv\neg p\land\neg q\land\neg r$ .
“nem $p$ nem $q$ ” = $\neg p\land\neg q$ .

Linguagem natural

Negação de	Forma correta
$p$ e $q$	não $p$ ou não $q$
$p$ ou $q$	não $p$ e não $q$
todos os requisitos	pelo menos um requisito não
algum dos requisitos	nenhum dos requisitos

Fluxo de transformação

Preserve parênteses.
Localize o conectivo principal.
Elimine $\to$ ou $\leftrightarrow$ se ajudar.
Aplique De Morgan de fora para dentro.
Elimine $\neg\neg$ .
Procure complemento, distributividade, identidade e absorção.
Confira por tabela ou contraexemplo se necessário.

Exemplo:

\neg(p\to q) \equiv \neg(\neg p\lor q) \equiv p\land\neg q.

Diagramas: legenda

hachura = região vazia;
X = existência confirmada;
região em branco = existência não determinada;
X na fronteira = objeto existe, mas sua sub-região exata não foi determinada.

Quatro formas categóricas

Frase	Diagrama
Todo $A$ é $B$	$A$ fora de $B$ vazia
Nenhum $A$ é $B$	$A\cap B$ vazia
Algum $A$ é $B$	X em $A\cap B$
Algum $A$ não é $B$	X em $A$ fora de $B$

Negação categórica

Afirmação	Negação
Todo $A$ é $B$	Algum $A$ não é $B$
Nenhum $A$ é $B$	Algum $A$ é $B$
Algum $A$ é $B$	Nenhum $A$ é $B$
Algum $A$ não é $B$	Todo $A$ é $B$

Existência: regra operacional

No método usado neste material:

universal hachura/restringe, mas não cria X;
“algum” cria X;
indivíduo identificado também pode fornecer existência;
se a questão declarar convenção diferente, siga o enunciado.

“Todo $A$ é $B$ ” não autoriza sozinho concluir “algum $A$ é $B$ ”.

Padrões diagramáticos

Inclusão encadeada

A\subseteq B,\ B\subseteq C \Rightarrow A\subseteq C

Existência sobe

Todo $A$ é $B$ .
Algum $A$ é $C$ .
Logo: algum $B$ é $C$ .

Existência não desce

Todo $A$ é $B$ .
Algum $B$ é $C$ .
Não conclua: algum $A$ é $C$ .

Inclusão + exclusão

Todo $A$ é $B$ .
Nenhum $B$ é $C$ .
Logo: nenhum $A$ é $C$ .

Existência + exclusão

Algum $A$ é $B$ .
Nenhum $B$ é $C$ .
Logo: algum $A$ não é $C$ .

Três classes

Desenhe as sobreposições ainda possíveis.
Hachure as regiões proibidas pelas universais.
Depois coloque os X das existenciais.
Se duas posições continuarem possíveis, mantenha o X na fronteira.
Não complete o desenho por conveniência.

Necessário × possível

necessária: vale em todos os diagramas compatíveis;
possível: vale em algum, mas não em todos;
incompatível: viola alguma premissa.

Um único diagrama admissível sem a conclusão refuta a necessidade.

Pegadinhas

coincidência em uma linha ≠ equivalência;
conversa ≠ contrapositiva;
$\neg(p\to q)\equiv p\land\neg q$ ;
De Morgan troca o conectivo;
não “cancele” letras proposicionais;
todo $A$ é $B$ não implica todo $B$ é $A$ ;
universal não cria X no método adotado;
região em branco não significa ocupada;
X não pode ser posicionado para favorecer a conclusão;
possível ≠ necessário.

Checklist

A transformação preserva os parênteses?
A seta foi eliminada corretamente?
A contrapositiva foi confundida com a conversa?
De Morgan negou todas as parcelas e trocou o conectivo?
Há um contraexemplo que refute a equivalência?
Nos diagramas, quais regiões estão proibidas?
Qual premissa justifica cada X?
Algum X deve permanecer sobre fronteira?
A conclusão vale em todos os diagramas admissíveis?

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