Estruturas lógicas

1. O problema por trás de “estruturas lógicas”

Imagine que cinco pessoas precisam ocupar cinco posições. O enunciado informa:

• Caio vem imediatamente depois de Ana;
• Dora vem antes de Ana;
• Beto ocupa a quinta posição;
• Eva vem antes de Dora.

A questão não quer saber qual ordem parece mais natural. Ela quer saber quais disposições satisfazem todas as condições ao mesmo tempo.

Traduza as regras:

• “Caio imediatamente depois de Ana” forma o bloco [Ana Caio];
• “Eva antes de Dora” e “Dora antes de Ana” formam Eva < Dora < Ana;
• Beto fica em 5º.

Então:

Eva < Dora < [Ana Caio] < Beto

e a ordem fica forçada:

1 Eva | 2 Dora | 3 Ana | 4 Caio | 5 Beto

Esse é o mecanismo central do assunto: transformar linguagem em restrições, reduzir possibilidades e conservar somente configurações compatíveis com todas as regras.

Uma solução não é uma disposição plausível. É uma configuração completa que respeita simultaneamente as condições dadas.

Não acrescente capacidades, preferências, vínculos ou convenções que o enunciado não informou.

2. Elementos, possibilidades e restrições

Quase todo problema pode ser organizado em três partes:

1. elementos: quem ou o que precisa ser organizado;
2. possibilidades: posições, setores, grupos ou valores ainda admissíveis;
3. restrições: condições que eliminam possibilidades ou forçam escolhas.

Exemplo hipotético: Lia, Nuno e Olga trabalham em setores distintos — Compras, Pessoal e TI — e em dias distintos — segunda, terça e quarta.

Se:

1. Lia não trabalha em Compras nem na segunda;
2. Nuno trabalha em TI e na quarta;
3. Compras corresponde à segunda;

então Nuno fecha TI/quarta. Compras/segunda não pode ser de Lia e também não pode ser de Nuno, logo fica com Olga. Sobra Pessoal/terça para Lia.

A resposta surgiu por eliminação e consequência, não por tentativa aleatória.

3. Traduzir a linguagem sem fortalecê-la

A maior fonte de erro é ler uma condição como se ela dissesse mais do que realmente diz.

3.1. Ordem e posição

Precedência não é adjacência. Em A, C, D, B, A continua antes de B.

Adjacência não fixa orientação. “A ao lado de B” admite [A B] e [B A].

3.2. Quantidades

• exatamente um: um e somente um;
• pelo menos um: um ou mais;
• no máximo um: zero ou um;
• pelo menos dois: dois ou mais.

“Pelo menos dois” fixa um mínimo; não fixa exatamente dois.

3.3. Condições do tipo “se”

“Se A, então B” significa: ocorrendo A, B também precisa ocorrer.

De A → B, não se conclui B → A.

“Lia participa somente se Nuno participar” significa:

se Lia participa, Nuno participa.

A presença de Nuno, sozinha, não força Lia.

“Somente Marta pode autorizar X” significa:

se X for autorizado, a autorização será de Marta.

A frase restringe o agente; não afirma que X será autorizado.

3.4. Exclusão não é atribuição

Se Paulo não trabalha no setor X e ainda pode estar em Y ou Z, apenas X foi eliminado. Não escolha Y ou Z antes de outra dedução.

4. Escolha a representação que exponha as regras

A representação serve para tirar informação da memória e colocá-la de forma visível.

A melhor representação é a que torna as restrições fáceis de aplicar.

5. Ordenação: posições, cadeias e blocos

Em fila, agenda ou ranking, numere as posições.

posição:  1   2   3   4   5
ocupante: _   _   _   _   _

Se A < B e B < C, então A < B < C. A precedência pode ser encadeada, mas isso não cria adjacência.

“A imediatamente antes de B” forma:

[A B]

Em cinco posições, esse bloco só pode começar em 1, 2, 3 ou 4.

Se houver apenas “A ao lado de B”, mantenha:

[A B]   ou   [B A]

Também confira o encaixe. Um ramo que exige um bloco de três elementos em apenas duas vagas restantes é impossível, mesmo que a ordem interna do bloco esteja correta.

6. Associação um a um: feche linha e coluna

Em problemas que relacionam categorias distintas, uma grade evita perder exclusões.

Quando a associação é um a um, confirmar

Lia = TI

produz duas consequências:

1. Lia deixa de poder ocupar os outros setores;
2. TI deixa de ser opção para as outras pessoas.

Pistas também podem ligar categorias antes de identificar a pessoa. Se “a pessoa de TI trabalha na quarta”, setor e dia passam a ficar vinculados.

Há ainda duas deduções muito úteis:

• única opção para um elemento: se Paula só pode estar na terça, então Paula = terça;
• único lugar para um valor: se todos os setores devem ser usados e Jurídico só cabe em Rui, então Rui = Jurídico.

7. Distribuição e agrupamento: capacidade é parte da lógica

Quando elementos são distribuídos entre equipes, salas ou turnos, anote:

• capacidade máxima;
• quantidade mínima ou exata;
• pares obrigatórios;
• incompatibilidades;
• condições como “se A entra, B entra”.

Equipe 1: [   ] [   ]
Equipe 2: [   ] [   ]

Capacidade atingida: se uma sala comporta duas tarefas e já recebeu A e B, ela fecha para as demais.

Mínimo ainda não atingido: uma comissão de quatro precisa de pelo menos dois auditores. Se três vagas já têm um auditor e dois não auditores, a última vaga deve ser de auditor.

Núcleo: se A deve ficar com C e os grupos são duplas, {A,C} já forma uma dupla completa. Agrupamento não cria ordem interna.

8. Relações direcionais: defina o sentido antes de combinar

Em hierarquia, dependência ou parentesco, fixe o significado da relação.

Se:

A → B

significa “A chefia B”, mantenha essa convenção.

Nem toda relação permite o mesmo encadeamento:

• se A está acima de B e B está acima de C, então A está acima de C;
• se A trabalha diretamente com B e B trabalha diretamente com C, não se conclui que A trabalha diretamente com C.

Em parentesco, organize gerações e vínculos informados. Não presuma gênero, casamento, filiação ou outro vínculo pelo nome ou por costume.

9. Propagação: cada descoberta deve gerar consequências

Não basta registrar pistas. Depois de cada atribuição ou exclusão:

1. elimine opções incompatíveis;
2. feche linhas, colunas ou destinos completos;
3. reavalie capacidades, mínimos e quantidades exatas;
4. reaplique condições ativadas;
5. procure elementos ou valores com única possibilidade;
6. repita enquanto houver nova dedução.

Esse ciclo é propagação de restrições: uma informação reduz o espaço de possibilidades e pode forçar outra.

9.1. Subconjunto confinado

Se A e B só podem ocupar as posições 2 e 4, essas posições ficam reservadas aos dois. Ainda não sabemos quem ocupa qual, mas nenhum terceiro elemento pode usar 2 ou 4.

9.2. Contradição

Descarte uma hipótese se ela produzir, por exemplo:

• elemento sem opção;
• duas pessoas na mesma vaga exclusiva;
• capacidade ultrapassada;
• mínimo impossível de alcançar;
• quantidade exata excedida;
• ciclo de precedência como A < B < C < A;
• violação de qualquer regra negativa.

Contradição é violação das condições, não apenas um caso difícil de completar.

10. Quando a dedução parar: abra poucos casos

Se restarem poucas possibilidades, separe os ramos explicitamente:

Caso 1: A está no grupo X.
Caso 2: A está no grupo Y.

Prefira uma escolha com poucos valores possíveis. Em cada ramo, reaplique todas as regras originais. Se surgir contradição, descarte o ramo inteiro.

Abrir casos é teste controlado, não tentativa aleatória.

11. O comando define o tipo de prova

11.1. “Pode ser verdadeiro”

Basta construir uma configuração completa válida em que a alternativa ocorra.

11.2. “Deve ser verdadeiro”

A alternativa precisa ocorrer em todas as configurações válidas.

Uma técnica eficiente é tentar construir um contraexemplo: uma configuração válida em que a alternativa seja falsa. Se ele existir, a alternativa não é obrigatória.

11.3. “Não pode ser verdadeiro”

Assuma a alternativa e aplique as regras. Ela é impossível se todos os caminhos compatíveis com a hipótese levarem a contradição.

11.4. Solução única

Encontrar uma solução prova existência, não unicidade. Para afirmar unicidade, mostre que as escolhas foram forçadas ou que todas as outras configurações foram eliminadas.

12. Verdade e mentira como restrição global

Algumas questões fixam quantas declarações são verdadeiras. Trate essa quantidade como mais uma regra do cenário.

Exemplo hipotético: exatamente uma entre Ana, Beto e Caio retirou um documento.

• Ana: “Beto retirou.”
• Beto: “Caio retirou.”
• Caio: “Eu não retirei.”

Se exatamente duas falas são verdadeiras:

• se Ana retirou: apenas a fala de Caio é verdadeira;
• se Beto retirou: falas de Ana e Caio são verdadeiras;
• se Caio retirou: apenas a fala de Beto é verdadeira.

Logo, Beto retirou.

Aqui, a contagem de verdades apenas filtra cenários. O estudo formal de proposições e tabelas-verdade pertence ao assunto próprio.

13. Um método de resolução que serve para quase toda questão

Passo 1 — leia o comando

A questão pede o que pode, deve ou não pode ocorrer? Ou exige a configuração completa?

Passo 2 — conte os recursos

Liste elementos, posições, categorias, vagas e capacidades. Verifique exclusividade e repetição.

Passo 3 — traduza as regras

Transforme frases em posição fixa, precedência, bloco, exclusão, associação, capacidade, mínimo/máximo ou condição do tipo “se”.

Passo 4 — aplique primeiro as regras mais fortes

Priorize fixações, blocos, quantidades exatas, capacidades quase completas e elementos com poucas opções.

Passo 5 — propague antes de abrir casos

Toda atribuição deve produzir novas eliminações. Só ramifique quando esse ciclo parar.

Passo 6 — valide tudo

Antes de responder, releia cada condição original, inclusive as negativas. Uma grade preenchida não é prova de correção se uma regra foi esquecida.

14. Armadilhas que mais custam pontos

• acrescentar regra de “bom senso” não informada;
• confundir “antes” com “imediatamente antes”;
• fixar orientação em “ao lado” sem apoio;
• inverter A → B para B → A;
• confundir “somente se” com “se”;
• ler “pelo menos” como “exatamente”;
• esquecer capacidade, mínimo ou exclusividade;
• confirmar associação um a um sem fechar também a coluna;
• transformar exclusão em atribuição cedo demais;
• tratar toda relação como se permitisse encadeamento;
• usar um exemplo para provar “deve”;
• encontrar uma solução e presumir unicidade;
• abrir casos e esquecer alguma regra original.

15. Checklist de fechamento

Antes de marcar:

• usei somente informações do enunciado?
• traduzi corretamente ordem, adjacência e quantidades?
• respeitei o sentido das condições do tipo “se”?
• conferi capacidades, mínimos e exclusividades?
• propaguei cada atribuição ou exclusão?
• mantive todas as regras em cada caso?
• validei também as condições negativas?
• minha prova corresponde a “pode”, “deve” ou “não pode”?
• se afirmei unicidade, eliminei as demais configurações?