Operações com conjuntos

1. A pergunta central: em que região cada elemento está?

Problemas de conjuntos parecem variar muito, mas quase todos exigem a mesma decisão: em qual região cada elemento deve ser colocado ou contado?

Considere um cenário hipotético. Um setor acompanha 120 processos. O conjunto $A$ reúne os processos com pendência documental; o conjunto $B$ , os processos com pendência financeira. Um processo pode estar:

somente em $A$ ;
somente em $B$ ;
simultaneamente em $A$ e $B$ ;
fora dos dois conjuntos.

Toda a matéria deste capítulo nasce dessa divisão. As operações dizem qual região selecionar; a cardinalidade diz quantos elementos há nela; a inclusão-exclusão impede que um mesmo elemento seja contado mais de uma vez.

Antes das fórmulas, portanto, faça duas perguntas:

qual é o universo do problema?
que condição define a região pedida?

O edital cobra operações com conjuntos. Para esse recorte, são necessários universo, elemento, pertinência, inclusão, igualdade, conjunto vazio, operações, cardinalidade, inclusão-exclusão e leitura de regiões. Produto cartesiano, famílias indexadas, partições, intervalos e desenvolvimento abstrato do conjunto das partes não são necessários aqui.

2. A linguagem mínima antes de operar

Um conjunto é uma coleção bem determinada de objetos, chamados elementos. O conjunto universo $U$ reúne todos os objetos admitidos no problema.

No cenário inicial, se os 120 processos acompanhados são os únicos relevantes, esses 120 formam o universo. Os conjuntos $A$ e $B$ são subconjuntos desse universo.

2.1. Pertinência: elemento contra conjunto

Se o objeto $x$ é elemento de $A$ , escreve-se:

x\in A.

Se não é:

x\notin A.

A relação de pertinência compara um elemento com um conjunto.

Exemplo:

A=\{1,2,3\}.

Então $2\in A$ , mas $4\notin A$ .

2.2. Inclusão: conjunto contra conjunto

A expressão

A\subseteq B

significa que todo elemento de $A$ também pertence a $B$ .

Se, além disso, $A\ne B$ , então $A$ é subconjunto próprio de $B$ :

A\subsetneq B.

Aqui a comparação é entre dois conjuntos.

Essa diferença evita uma pegadinha frequente:

x\in A \quad\Longleftrightarrow\quad \{x\}\subseteq A.

Mas

\{x\}\in A

é outra afirmação: diz que o próprio conjunto unitário $\{x\}$ foi colocado como elemento de $A$ .

A=\{1,\{2\},3\},

então $\{2\}\in A$ , mas $2\notin A$ .

2.3. Igualdade, repetição e cardinalidade

Dois conjuntos são iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos:

A=B \quad\Longleftrightarrow\quad A\subseteq B\text{ e }B\subseteq A.

A ordem de escrita e a repetição não alteram o conjunto:

\{1,2,2,3\}=\{3,2,1\}.

A cardinalidade de $A$ , indicada por $|A|$ , é o número de elementos distintos de $A$ . Assim,

|\{1,2,2,3\}|=3.

Ter a mesma cardinalidade, porém, não torna dois conjuntos iguais. Por exemplo, $\{1,2\}$ e $\{7,8\}$ têm dois elementos, mas não têm os mesmos elementos.

2.4. Conjunto vazio

O conjunto vazio, indicado por $\varnothing$ , não possui elementos:

|\varnothing|=0.

Ele é subconjunto de todo conjunto:

\varnothing\subseteq A.

Isso não significa que $\varnothing$ seja elemento de todo conjunto.

Também não confunda:

\varnothing\ne\{\varnothing\}.

O primeiro tem zero elementos. O segundo tem um elemento: o próprio conjunto vazio.

3. União e interseção: ampliar ou restringir a região

As duas operações centrais podem ser entendidas pelo efeito sobre a região selecionada.

3.1. União: basta pertencer a pelo menos um

A união reúne os elementos que estão em $A$ , em $B$ ou em ambos:

A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ ou }x\in B\}.

O “ou” é inclusivo.

A=\{1,2,3\},\qquad B=\{3,4\},

então

A\cup B=\{1,2,3,4\}.

O elemento $3$ aparece nos dois conjuntos, mas é contado uma única vez na união.

No cenário dos processos, $A\cup B$ representa os processos com pelo menos uma das duas pendências.

3.2. Interseção: as condições devem valer ao mesmo tempo

A interseção reúne os elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos:

A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ e }x\in B\}.

No exemplo numérico:

A\cap B=\{3\}.

No cenário dos processos, $A\cap B$ representa quem tem as duas pendências.

Palavras como ambos, simultaneamente, nos dois e ao mesmo tempo normalmente apontam para interseção.

A\cap B=\varnothing,

os conjuntos são disjuntos: não possuem elementos em comum.

4. Diferença, complemento e exatamente um

4.1. Diferença: fica o que pertence ao primeiro e não ao segundo

A diferença

A\setminus B

seleciona os elementos que estão em $A$ e não estão em $B$ :

A\setminus B=\{x\mid x\in A\text{ e }x\notin B\}.

Para

A=\{1,2,3\},\qquad B=\{3,4\},

temos

A\setminus B=\{1,2\}, \qquad B\setminus A=\{4\}.

A ordem importa. Em geral,

A\setminus B\ne B\setminus A.

No cenário inicial, $A\setminus B$ são os processos com pendência documental, mas sem pendência financeira.

4.2. Complemento: tudo depende do universo

O complemento de $A$ é o que está no universo e não está em $A$ :

A^c=U\setminus A.

U=\{1,2,3,4,5\},\qquad A=\{1,3,5\},

então

A^c=\{2,4\}.

Por isso, “fora de $A$ ” só faz sentido depois de saber qual é o universo. Trocar $U$ pode trocar $A^c$ .

Também:

A\setminus B=A\cap B^c.

Ou seja, “estar em $A$ e não em $B$ ” é exatamente “estar em $A$ e no complemento de $B$ ”.

4.3. Diferença simétrica: exatamente um dos conjuntos

A diferença simétrica seleciona quem pertence a um dos conjuntos, mas não aos dois:

A\triangle B =(A\setminus B)\cup(B\setminus A).

Também pode ser escrita como:

A\triangle B =(A\cup B)\setminus(A\cap B).

No cenário dos processos, é o conjunto dos processos com exatamente uma das duas pendências.

5. Traduzir a frase vem antes de calcular

Muitos erros não são de conta; são de tradução da linguagem para a região correta.

Linguagem do enunciado	Região
pelo menos um / $A$ ou $B$	$A\cup B$
ambos / simultaneamente	$A\cap B$
$A$ , mas não $B$	$A\setminus B$
exatamente um	$A\triangle B$
nenhum dos dois	$(A\cup B)^c$
não ambos	$(A\cap B)^c$
somente $A$ entre três	$A\setminus(B\cup C)$

Duas frases merecem contraste especial:

nenhum dos dois: o elemento está fora de $A$ e fora de $B$ ;
não ambos: basta que pelo menos uma das duas pertinências falhe.

Logo,

(A\cup B)^c \ne (A\cap B)^c

em geral.

6. Leis algébricas: por que elas funcionam

As leis são mais fáceis de lembrar quando se observa a região que cada expressão seleciona.

6.1. Repetir a mesma condição não muda a região

A\cup A=A, \qquad A\cap A=A.

São as leis de idempotência.

6.2. Trocar a ordem não muda união nem interseção

A\cup B=B\cup A,

A\cap B=B\cap A.

São as leis de comutatividade.

6.3. Reagrupar três conjuntos também não muda o resultado

(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C),

(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C).

São as leis de associatividade.

6.4. Vazio e universo funcionam como extremos

A\cup\varnothing=A, \qquad A\cap U=A,

A\cup U=U, \qquad A\cap\varnothing=\varnothing.

6.5. Absorção

A expressão $A\cap B$ já está dentro de $A$ . Por isso, uni-la novamente a $A$ não acrescenta nada:

A\cup(A\cap B)=A.

Pelo raciocínio dual:

A\cap(A\cup B)=A.

6.6. Distributividade

Assim como em expressões algébricas, uma operação pode ser distribuída sobre a outra:

A\cap(B\cup C) =(A\cap B)\cup(A\cap C),

A\cup(B\cap C) =(A\cup B)\cap(A\cup C).

7. Complementos e leis de De Morgan

O complemento inverte a região selecionada. Se uma condição era “pertencer à união”, o complemento exige ficar fora de toda essa união:

(A\cup B)^c=A^c\cap B^c.

Em palavras: não estar em $A$ nem em $B$ significa estar fora de $A$ e fora de $B$ .

Já:

(A\cap B)^c=A^c\cup B^c.

Em palavras: não estar simultaneamente em $A$ e $B$ significa estar fora de pelo menos um deles.

Esse é o mecanismo das leis de De Morgan: ao complementar, união e interseção trocam de lugar.

Também valem:

A\cup A^c=U, \qquad A\cap A^c=\varnothing, \qquad (A^c)^c=A.

8. Cardinalidade: contar regiões sem dupla contagem

Quando o problema pergunta “quantos?”, o foco passa da seleção da região para sua cardinalidade.

8.1. Dois conjuntos

Suponha, no cenário inicial, que:

|A|=70, \qquad |B|=50, \qquad |A\cap B|=20.

Se somarmos $70+50$ , os 20 processos da interseção entram duas vezes. Para contar cada processo uma única vez, subtraímos uma dessas contagens:

|A\cup B| =|A|+|B|-|A\cap B|.

No exemplo:

|A\cup B|=70+50-20=100.

Como o universo tem 120 processos, ficam fora dos dois conjuntos:

|(A\cup B)^c|=120-100=20.

As regiões exclusivas também saem diretamente da interseção:

|A\setminus B|=|A|-|A\cap B|,

|B\setminus A|=|B|-|A\cap B|.

No exemplo:

|A\setminus B|=50, \qquad |B\setminus A|=30.

Exatamente um dos dois conjuntos corresponde à soma dessas duas regiões:

|A\triangle B| =|A|+|B|-2|A\cap B|.

8.2. Um teste de possibilidade

Se $A,B\subseteq U$ e $|U|=N$ , a interseção não pode ser negativa nem maior que o menor conjunto. Além disso, se $|A|+|B|$ ultrapassa $N$ , alguma sobreposição é obrigatória.

Por isso:

\max(0,|A|+|B|-N) \le |A\cap B| \le \min(|A|,|B|).

Esse intervalo é útil para detectar dados impossíveis antes de fazer contas longas.

9. Três conjuntos: comece pelo centro

Com três conjuntos, cada elemento pode ocupar mais regiões. O ponto crítico é que uma interseção de pares, como $A\cap B$ , inclui quem também pertence a $C$ .

A fórmula de inclusão-exclusão é:

|A\cup B\cup C| =|A|+|B|+|C| -|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C| +|A\cap B\cap C|.

O sinal final é positivo porque, após subtrair as três interseções de pares, a região tripla foi retirada vezes demais e precisa ser recolocada uma vez.

9.1. Como preencher um diagrama de Venn

Quando os dados são fornecidos por interseções, a ordem mais segura é do centro para fora:

coloque a interseção tripla;
obtenha as regiões de exatamente dois conjuntos;
calcule as regiões exclusivas de cada conjunto;
só então calcule a região externa à união.

Suponha:

|A\cap B|=50, \quad |A\cap C|=40, \quad |B\cap C|=30, \quad |A\cap B\cap C|=20.

A região “ $A$ e $B$ , mas não $C$ ” vale:

50-20=30.

Analogamente:

|A\cap C\text{ somente}|=40-20=20,

|B\cap C\text{ somente}|=30-20=10.

Esse passo evita usar como região exclusiva um número que ainda contém a interseção tripla.

9.2. Pelo menos dois entre três

Somando

|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|,

cada elemento da interseção tripla aparece três vezes. Para que apareça uma única vez, retiramos duas contagens:

|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C| -2|A\cap B\cap C|.

10. Método de resolução para prova

Use este fluxo sempre que aparecer um problema de conjuntos:

fixe o universo — principalmente se houver complemento, “nenhum” ou total de pessoas/objetos;
identifique o tipo de relação — elemento com conjunto ( $\in$ ) ou conjunto com conjunto ( $\subseteq$ );
traduza a frase em região — “ou”, “e”, “somente”, “exatamente”, “pelo menos”, “nenhum”;
desenhe ou imagine as regiões antes dos números;
em três conjuntos, comece pela interseção tripla;
transforme interseções de pares em regiões exclusivas antes de calcular “somente”;
aplique inclusão-exclusão para eliminar dupla contagem;
confira se nenhuma região ficou negativa e se a soma respeita o universo.

11. O que deve ficar automático

Ao final deste assunto, estas distinções precisam sair sem hesitação:

$x\in A$ compara elemento e conjunto; $B\subseteq A$ compara conjuntos;
$\varnothing\subseteq A$ para todo $A$ , mas isso não implica $\varnothing\in A$ ;
$\varnothing$ e $\{\varnothing\}$ são conjuntos diferentes;
repetir um elemento não aumenta a cardinalidade;
união usa “ou” inclusivo e contém a interseção;
diferença depende da ordem;
complemento depende do universo;
“nenhum” e “não ambos” representam regiões diferentes;
em três conjuntos, $A\cap B$ inclui quem também está em $C$ ;
inclusão-exclusão existe para corrigir contagens repetidas.

Referências

CEBRASPE. Edital nº 1 — TCE/MA, de 6 de julho de 2026. Raciocínio Lógico, item 6 — Operações com conjuntos.
BEMM, Laerte. Lógica e teoria de conjuntos. Universidade Estadual de Maringá. Noções de conjuntos, operações, propriedades e leis de De Morgan.
ROISENBERG, Mauro. Teoria dos conjuntos. Universidade Federal de Santa Catarina. Pertinência, inclusão, operações e cardinalidade.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA. Fundamentos de Matemática Elementar I. Referência acadêmica para conceitos e operações elementares com conjuntos.