Problemas aritméticos

1. O problema vem antes da conta

Em problemas aritméticos, a dificuldade principal raramente é executar uma soma, uma divisão ou uma regra de três. O ponto decisivo é traduzir o texto para uma relação numérica correta.

Considere este cenário hipotético:

Uma equipe processa 480 documentos em 6 horas com 4 servidores, todos com a mesma produtividade. Quantos documentos 10 servidores processariam em 3 horas, mantidas as mesmas condições?

Antes de calcular, identifique o mecanismo: há uma quantidade produzida, uma taxa de produção, um número de agentes e um tempo. A produção por servidor e por hora é

\frac{480}{4\cdot6}=20.

Logo,

20\cdot10\cdot3=600.

A mesma postura resolve grande parte deste assunto: descubra qual grandeza varia, qual base está sendo usada e qual relação permanece válida.

Um roteiro eficiente é:

escreva o que foi dado e o que se pede;
associe uma unidade a cada grandeza;
identifique a base de comparação: total inicial, restante, distância, tempo, quantidade de trabalho etc.;
escolha a relação que traduz o texto;
só então faça as contas;
ao final, confira unidade, sinal, ordem de grandeza e restrições do contexto.

O recorte do edital é raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos. Por isso, entram aqui frações, razões, proporções, porcentagens, médias, equações, taxas, misturas, conversões, restos e padrões quando funcionam como ferramentas de modelagem. Se a essência do item for área, perímetro, ângulo ou volume, o aprofundamento está em Problemas geométricos; se depender de operações estruturadas com matrizes, está em Problemas matriciais.

2. A primeira pergunta: “fração ou percentual de quê?”

Muitos erros acontecem porque a operação está certa, mas a base está errada.

2.1. Fração de uma quantidade

A expressão “ $3/5$ de 350” significa

\frac35\cdot350=210.

Já “ $1/4$ do restante” muda a base. Se alguém gasta primeiro $1/3$ de um valor, resta $2/3$ . Gastar depois $1/4$ do restante significa gastar

\frac14\cdot\frac23=\frac16

do valor inicial. Portanto, após os dois gastos, resta

1-\frac13-\frac16=\frac12.

A ideia que deve ficar é simples: cada fração atua sobre a quantidade indicada pelo enunciado naquele momento.

2.2. Múltiplos, divisores e restos

Problemas de repetição periódica costumam pedir quando dois ciclos voltarão a coincidir. Nessa situação, procure o primeiro múltiplo comum dos períodos; é o papel do MMC.

Problemas de agrupamento máximo em lotes iguais, sem sobra, apontam para o maior divisor comum; é o papel do MDC.

Para restos, use a divisão euclidiana:

n=dq+r,\qquad 0\le r<d.

Assim, dizer que um número deixa resto 3 na divisão por 7 significa que ele pode ser escrito como

7q+3.

Esse modelo evita testar alternativas sem critério e ajuda a reconhecer padrões de restos.

3. Razão e proporção: compare grandezas antes de montar a regra de três

Uma razão compara duas grandezas por quociente. Se há $a$ unidades de uma grandeza para $b$ de outra, a razão é

\frac ab.

Uma proporção afirma que duas razões são iguais:

\frac ab=\frac cd \iff ad=bc,

com denominadores não nulos.

A regra de três não cria essa relação: ela apenas organiza uma proporcionalidade que já precisa existir.

3.1. Proporcionalidade direta

Se dobrar $x$ dobra $y$ , triplicar $x$ triplica $y$ e a razão $y/x$ permanece constante, então

y=kx.

No cenário inicial, mantidas produtividade e tempo, dobrar o número de servidores dobra a produção.

3.2. Proporcionalidade inversa

Se o produto de duas grandezas permanece constante,

xy=k,

elas são inversamente proporcionais.

Exemplo: para uma quantidade fixa de trabalho, se a produtividade aumenta 25%, o tempo não diminui 25%. A nova produtividade é multiplicada por $1{,}25$ ; para manter o mesmo trabalho, o tempo deve ser dividido por $1{,}25$ .

Se antes eram necessárias 16 horas:

t_{novo}=\frac{16}{1{,}25}=12{,}8\text{ h}.

O simples fato de uma grandeza subir enquanto outra desce não basta para concluir proporcionalidade inversa. É preciso que o produto relevante permaneça constante nas condições do problema.

3.3. Taxa unitária: uma alternativa robusta

Quando várias grandezas aparecem ao mesmo tempo, calcule quanto corresponde a uma unidade da base.

No cenário inicial:

\frac{480}{4\cdot6}=20

documentos por servidor-hora. Depois, reconstrua a quantidade pedida.

Esse método costuma ser mais seguro do que decorar posições em uma regra de três composta.

3.4. Divisão proporcional

Para dividir um total $T$ diretamente na razão $a:b:c$ , pense em “partes de mesmo tamanho”. Há $a+b+c$ partes ao todo. Assim,

x=T\frac{a}{a+b+c},\quad y=T\frac{b}{a+b+c},\quad z=T\frac{c}{a+b+c}.

Se a divisão é inversamente proporcional a $a$ e $b$ , os pesos passam a ser $1/a$ e $1/b$ . Por exemplo, ser inversamente proporcional a 2 e 3 equivale a dividir diretamente na razão

\frac12:\frac13=3:2.

4. Porcentagem é um fator aplicado a uma base

Porcentagem significa “por cem”:

p\%=\frac p{100}.

A maneira mais econômica de trabalhar é transformar a variação em um fator multiplicativo.

Aumento de $p\%$ :

V_f=V_0\left(1+\frac p{100}\right).

Desconto de $p\%$ :

V_f=V_0\left(1-\frac p{100}\right).

Se um valor de R$ 240 corresponde a 80% do valor original, não se deve “devolver 20%” calculando 20% de 240. O número 240 já é uma nova base. A relação correta é

0{,}8V_0=240 \quad\Longrightarrow\quad V_0=\frac{240}{0{,}8}=300.

4.1. Variações sucessivas

Cada percentual atua sobre o valor que existe naquele momento. Portanto, variações sucessivas multiplicam fatores:

V_f=V_0f_1f_2\cdots.

Aumentar 20% e depois reduzir 20% produz

1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96,

isto é, redução líquida de 4%.

A simetria aparente dos percentuais engana porque as bases são diferentes.

4.2. Percentual relativo e ponto percentual

Se uma taxa passa de 40% para 50%, a diferença é 10 pontos percentuais. O aumento relativo, porém, compara a diferença com a taxa inicial:

\frac{50-40}{40}=25\%.

São duas perguntas diferentes:

“quantos pontos a taxa ganhou?” → 10 pontos percentuais;
“quanto ela cresceu em relação ao valor inicial?” → 25%.

5. Médias: reconstrua a soma antes de combinar grupos

A média aritmética simples de $n$ valores é

\bar x=\frac{\sum x_i}{n}.

Daí vem uma ferramenta importante:

\text{soma}=\text{média}\cdot\text{quantidade de valores}.

Se 20 pessoas têm média 70, a soma do grupo é 1.400. Se outras 30 têm média 80, a soma é 2.400. Juntando os grupos:

\frac{1400+2400}{20+30}=76.

Fazer $(70+80)/2$ daria peso igual a grupos de tamanhos diferentes.

A média ponderada formaliza essa ideia:

\bar x_p=\frac{\sum w_ix_i}{\sum w_i}.

Os pesos representam quanto cada valor contribui para o total: quantidade de pessoas, massa, volume, número de itens ou outra grandeza pertinente.

5.1. Velocidade média não é média automática das velocidades

Velocidade média é sempre

v_m=\frac{d_{total}}{t_{total}}.

Se duas distâncias iguais são percorridas a velocidades $v_1$ e $v_2$ , os tempos de cada trecho são diferentes. A expressão resultante é

v_m=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}.

A fórmula não deve ser decorada sem a origem: ela aparece porque as distâncias são iguais, e não porque existam simplesmente duas velocidades.

6. Equações: dê nome ao que o texto não informa

Quando o enunciado descreve relações simultâneas, defina uma incógnita e traduza cada frase.

O triplo de um número, somado a 7, é 40.

Se o número é $x$ :

3x+7=40.

O objetivo não é “achar uma equação que funcione”, mas fazer cada termo representar uma afirmação do problema.

6.1. Soma e diferença

Se dois números somam $S$ e o maior excede o menor em $D$ :

x+y=S, \qquad x-y=D.

Somando as equações,

x=\frac{S+D}{2}, \qquad y=\frac{S-D}{2}.

6.2. Inteiros consecutivos

Três inteiros consecutivos podem ser escritos como

x-1,\quad x,\quad x+1.

Essa representação mantém automaticamente a distância de uma unidade entre eles.

6.3. Problemas de idade

Se hoje uma pessoa tem $x$ anos, daqui a $t$ anos terá $x+t$ ; há $t$ anos tinha $x-t$ .

O ponto-chave é que todos avançam ou recuam o mesmo intervalo de tempo. A diferença entre duas idades permanece constante.

6.4. Números formados por algarismos

Se $x$ é o algarismo das dezenas e $y$ o das unidades, o número é

10x+y.

O número com os algarismos invertidos é

10y+x.

Essa tradução transforma frases sobre soma de algarismos, inversão e diferença entre números em equações comuns.

7. Taxas: quantidade = taxa × tempo

Produção, trabalho, vazão e movimento parecem temas diferentes, mas compartilham a mesma estrutura:

\text{quantidade}=\text{taxa}\cdot\text{tempo}.

A taxa diz quanto da quantidade ocorre por unidade de tempo. Antes de somar ou comparar taxas, deixe as unidades compatíveis.

7.1. Trabalho e produção

Se uma pessoa conclui um serviço inteiro em $t$ dias, sua taxa é

\frac1t

do serviço por dia.

Se duas pessoas trabalham ao mesmo tempo, com taxas constantes e aditivas,

r_{total}=r_1+r_2.

Quem faz sozinho em 6 dias tem taxa $1/6$ ; quem faz em 3 dias tem taxa $1/3$ . Juntos:

\frac16+\frac13=\frac12,

portanto realizam metade do serviço por dia e concluem o total em 2 dias.

Mais trabalhadores só implicam menos tempo quando a quantidade de trabalho é fixa e as condições de produtividade e jornada são comparáveis.

7.2. Vazão

Vazão é volume por tempo:

Q=\frac Vt.

Entradas aumentam o volume; saídas diminuem. Se entram 100 litros por minuto e saem 25, a vazão líquida é

100-25=75\text{ L/min}.

É essa taxa líquida que determina a variação do reservatório.

7.3. Movimento uniforme

No movimento com velocidade constante,

d=vt.

Se dois móveis se aproximam em sentidos opostos, a distância entre eles diminui à soma das velocidades. Se um persegue o outro no mesmo sentido, a distância diminui à diferença das velocidades.

O que se soma ou subtrai não é uma regra verbal isolada: é a taxa com que a distância relativa muda.

8. Misturas: acompanhe a quantidade que precisa ser conservada

Em problemas de mistura, primeiro pergunte: qual substância ou valor estou rastreando?

Se uma solução de volume $V$ tem concentração decimal $c$ , a quantidade de soluto é

S=cV.

Por exemplo, 20 litros a 30% contêm

0{,}30\cdot20=6

litros de soluto.

Se forem adicionados 10 litros de água, a quantidade de soluto continua 6, mas o volume total passa a 30 litros. Logo,

c_f=\frac6{30}=20\%.

Ao misturar duas soluções, admitindo volumes aditivos,

c_f=\frac{c_1V_1+c_2V_2}{V_1+V_2}.

A mesma lógica aparece em custo médio: some o custo total de cada parcela e divida pela quantidade total. Em ambos os casos, trata-se de média ponderada construída a partir das quantidades efetivas.

Se é adicionado soluto puro, tanto o numerador quanto o volume total aumentam. Se é adicionada água, o soluto fica constante e apenas o total aumenta.

9. Unidades: a equação só faz sentido se as grandezas forem compatíveis

Antes de calcular, converta grandezas para unidades compatíveis.

Grandeza	Relação
tempo	$1\text{ h}=60\text{ min}=3600\text{ s}$
comprimento	$1\text{ km}=1000\text{ m}$
massa	$1\text{ kg}=1000\text{ g}$
capacidade	$1\text{ L}=1000\text{ mL}$
velocidade	$1\text{ m/s}=3{,}6\text{ km/h}$

Para converter 90 km/h em m/s:

\frac{90}{3{,}6}=25\text{ m/s}.

O tempo também exige atenção. Quinze minutos são

\frac{15}{60}=0{,}25\text{ h}.

Logo,

2\text{ h }15\text{ min}=2{,}25\text{ h},

e não 2,15 h.

10. Padrões numéricos: procure a regra mais simples que o enunciado sustenta

Uma sequência de poucos termos pode admitir várias continuações matematicamente possíveis. Em prova, procure a regra compatível com os dados e com a forma da pergunta.

Uma ordem útil de inspeção é:

diferenças entre termos consecutivos;
razões entre termos consecutivos;
alternância de duas regras;
relação entre o termo e sua posição;
recorrência explicitamente indicada.

Na sequência

2,5,10,17,\ldots

as diferenças são $3,5,7,\ldots$ , o que sugere diferenças ímpares sucessivas. Se o enunciado ainda informa que o termo de posição $n$ é $n^2+1$ , a regra deixa de ser apenas uma hipótese e passa a estar determinada.

Não force uma progressão aritmética ou geométrica quando o padrão não a sustenta.

11. Juros como aplicação de porcentagem e base

Neste recorte, juros interessam sobretudo como problema de percentual aplicado ao capital correto.

Em juros simples, os juros de cada período incidem sobre o capital inicial; o crescimento é linear no número de períodos. Em juros compostos, cada período aplica um novo fator ao montante já acumulado.

Em compras parceladas, cuidado para não usar automaticamente o preço total como capital financiado. Se uma parte é paga no ato, o capital efetivamente financiado é o saldo que deixou de ser pago naquele momento.

Exemplo hipotético: um bem custa R $1.000 à vista. O comprador paga R$ 600 no ato e R $440 um mês depois. O saldo financiado foi R$ 400; os juros cobrados foram R$ 40. Portanto, a taxa mensal foi

\frac{40}{400}=10\%.

O mesmo princípio das porcentagens reaparece: identifique a base antes de calcular a taxa.

12. Como reconhecer a estrutura em prova

Quando o enunciado parecer longo, procure sinais do mecanismo matemático:

Pista no texto	Pergunta que organiza o raciocínio
“do restante”, “do novo valor”	qual é a base agora?
“na razão”, “proporcionalmente”	direta ou inversa? quais são os pesos?
“aumentou/descontou x%”	qual fator multiplica a base?
médias de grupos	quais são as somas e os tamanhos dos grupos?
“juntos”, “por hora”, “por dia”	quais são as taxas e suas unidades?
entrada e saída simultâneas	qual é a taxa líquida?
mistura/concentração	qual quantidade é conservada?
algarismos invertidos	como escrever o número pelas posições decimais?
ciclos que voltam a coincidir	qual é o primeiro múltiplo comum?
divisão com resto	como escrever $n=dq+r$ ?

Antes de marcar a alternativa, faça quatro conferências finais:

Pergunta: respondi exatamente à grandeza pedida?
Base: fração, percentual ou taxa incidiu sobre a quantidade correta?
Unidade: as grandezas estavam compatíveis durante a conta?
Contexto: a solução respeita as restrições do enunciado, como positividade, integralidade ou limites físicos?

Uma resposta numericamente obtida, mas incompatível com essas quatro verificações, ainda não é uma solução do problema.

Referências

CEBRASPE. Edital do concurso público do TCE/MA 2026. Edital nº 1, de 6 de julho de 2026.
IMPA; OBMEP. Razões e Proporções.
IMPA; OBMEP. Porcentagem e Juros.
IMPA; OBMEP. Sistemas de Equações do Primeiro Grau.
IMPA; OBMEP. Sistemas de Medidas e Medidas de Tempo.