Mega revisão de Raciocínio Lógico

Esta revisão integra os dez assuntos comuns de Raciocínio Lógico dos cargos de Analista Administração e Técnico-Administrativa do TCE/MA 2026. O corte principal é o Edital nº 1, de 6 de julho de 2026, considerado com a consolidação decorrente da retificação de 29 de julho de 2026, que não modificou este bloco.

O fio condutor da prova é menos “decorar fórmulas” e mais controlar cinco decisões: o que está sendo representado, qual regra foi realmente dada, qual operação preserva essa regra, que tipo de conclusão se pede e como conferir o resultado. Antes de calcular, identifique o objeto: cenário de restrições, argumento, fórmula, classe, conjunto, contagem, evento probabilístico, grandeza geométrica ou matriz.

Disciplina de resolução: traduza sem fortalecer nem enfraquecer o enunciado; preserve escopos e unidades; não crie existência, exclusividade, proporcionalidade, paralelismo, independência ou capacidade que não tenham sido informados; ao final, teste todas as condições originais.

1. Estruturas lógicas

Estruturas lógicas organizam pessoas, objetos, lugares, tarefas ou eventos em um universo finito submetido a condições. O enunciado fornece elementos, possibilidades e restrições; a solução é uma configuração completa que satisfaz todas elas simultaneamente.

1.1. Traduza a condição antes de montar o quadro

Linguagem do enunciado	Leitura operacional
A antes de B	A ocupa posição anterior; pode haver intervalo
A imediatamente antes de B	bloco orientado `[A B]`
A ao lado de B	`[A B]` ou `[B A]`
A com B	mesmo grupo, salvo regra específica
A sem B	grupos distintos
se A, então B	ocorrendo A, B deve ocorrer
A somente se B	A exige B; B é necessário para A
somente A pode fazer X	se X ocorrer, o agente será A; não afirma que X ocorrerá
exatamente k	nem menos nem mais que k
pelo menos k	k ou mais
no máximo k	de zero a k
A ou B, mas não ambos	exatamente um dos dois

Três distinções eliminam muitos erros:

precedência não é adjacência: A < B não forma automaticamente [A B];
adjacência não fixa direção: “A ao lado de B” admite duas orientações;
condição necessária não é suficiente: de A → B não se conclui B → A.

1.2. Escolha uma representação que exponha as restrições

Estrutura do problema	Representação útil
fila, classificação, agenda	posições numeradas
pessoa × setor × data	grade de associação
equipes, salas, turnos	caixas com capacidades
chefia, dependência, precedência	setas com direção definida
poucas alternativas residuais	árvore curta de casos

Em uma associação um a um, confirmar Lia = TI fecha simultaneamente a linha de Lia e a coluna de TI: eliminam-se outros setores para Lia e TI para as demais pessoas. Em agrupamentos, registre antes de distribuir a capacidade, o mínimo, o máximo, os pares obrigatórios, as incompatibilidades e as condicionais.

1.3. Propagação: cada informação deve produzir consequências

Após uma atribuição ou exclusão:

elimine opções incompatíveis;
feche linha, coluna ou caixa cuja capacidade foi atingida;
reserve vagas para mínimos ainda não satisfeitos;
reaplique regras condicionais ativadas;
procure elemento com única opção e opção que só cabe em um elemento;
verifique cadeias de precedência e impossibilidades de encaixe.

Se A < B, B < C e C < A, surgiu um ciclo impossível. Se uma equipe de duas pessoas já contém um par obrigatório, ela está completa. Se três elementos só podem ocupar duas posições exclusivas, o ramo é inviável.

1.4. Quando abrir casos

Abra casos apenas quando a propagação direta parar e houver poucas alternativas relevantes. Cada ramo conserva todas as regras originais. Uma contradição descarta o ramo inteiro; não autoriza flexibilizar a condição que produziu a contradição.

Exemplo: quatro pessoas ocupam as posições 1 a 4. A está antes de B; C está ao lado de A; D não ocupa a posição 4. Testar a orientação [C A] e depois [A C] é legítimo. Presumir que C fica imediatamente depois de A sem examinar a outra orientação não é.

1.5. “Pode”, “deve” e “não pode” exigem provas diferentes

Comando	Prova adequada
pode ser verdadeiro	uma configuração completa válida em que ocorra
deve ser verdadeiro	ocorre em todas as configurações; tente construir contraexemplo
não pode ser verdadeiro	assumir a alternativa conduz inevitavelmente a contradição
solução única	todas as demais configurações foram eliminadas

Uma solução encontrada prova existência, não necessidade nem unicidade. Uma disposição parcial aparentemente promissora não prova possibilidade: ela ainda pode tornar-se incompatível ao completar as posições.

1.6. Armadilhas de maior rendimento

completar lacunas com “bom senso”;
interpretar “antes” como “imediatamente antes”;
ler “pelo menos” como “exatamente”;
inverter A → B;
transformar uma exclusão isolada em atribuição;
ignorar capacidade ou mínimo ao avançar um ramo;
tratar relação não transitiva como transitiva;
encontrar um exemplo e concluir “deve”;
preencher o quadro e deixar de reler uma condição negativa.

2. Lógica de argumentação, analogias, inferências, deduções e conclusões

Um argumento apresenta uma ou mais afirmações como razões para aceitar outra. Premissa é a razão, conclusão é a tese apoiada e inferência é a passagem das premissas à conclusão. O texto pode conter conclusão intermediária, que encerra um passo e passa a funcionar como premissa do seguinte.

2.1. Reconheça a função, não apenas a palavra

“Logo”, “portanto” e “assim” costumam anunciar conclusão; “porque”, “pois” e “já que” costumam introduzir razão. São indícios, não regras mecânicas. A conclusão pode aparecer antes das premissas, e um texto pode argumentar sem marcador explícito.

Diferencie:

relato: organiza fatos, sem um deles sustentar outro;
explicação: toma um fato como aceito e mostra por que ocorreu;
opinião isolada: apresenta posição sem razão;
argumento: oferece razões para que uma tese seja aceita.

A frase “o portal ficou lento porque houve pico de acessos” é explicação se a lentidão já está admitida. Pode funcionar como argumento se a própria existência da lentidão estiver em disputa e o pico for oferecido como evidência.

2.2. Pressupostos e estrutura do apoio

Premissas podem ser:

ligadas: precisam atuar juntas;
independentes: cada uma oferece apoio próprio;
encadeadas: uma conclusão intermediária sustenta o passo posterior.

Um pressuposto é uma ponte não expressa. Em “Rui domina o sistema, logo deve ministrar o treinamento”, falta uma regra que ligue domínio técnico a aptidão para ensinar. Ao reconstruí-la, não acrescente tudo o que tornaria o argumento convincente; escolha apenas a ponte compatível com o texto e necessária ao apoio pretendido.

2.3. Verdade, validade e solidez

Conceito	Objeto avaliado	Pergunta correta
verdade/falsidade	afirmação	seu conteúdo corresponde ao caso considerado?
validade/invalidade	argumento dedutivo	premissas verdadeiras poderiam coexistir com conclusão falsa?
solidez	argumento dedutivo	é válido e tem premissas verdadeiras?

Premissa falsa não torna automaticamente o argumento inválido. Conclusão verdadeira não torna automaticamente o argumento válido. Um argumento válido com alguma premissa falsa não é sólido; um argumento sólido tem conclusão verdadeira.

Para refutar validade dedutiva, basta um contraexemplo coerente no qual todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão, falsa. Não é preciso que o cenário tenha ocorrido no mundo real; ele precisa ser compatível com as premissas.

2.4. Dedução, indução e analogia

Tipo	Pretensão	Teste principal
dedução	a conclusão é necessária dadas as premissas	procure contraexemplo
indução	a conclusão é provável	examine base, representatividade e alcance
analogia	transfere expectativa entre casos semelhantes	procure diferença relevante

Na indução, poucos casos, seleção enviesada e conclusão universal enfraquecem o apoio. Uma amostra ampla, relevante e representativa o fortalece, mas não transforma a conclusão em necessidade lógica.

Na analogia, quantidade de semelhanças não basta. Uma única diferença ligada ao mecanismo responsável pelo resultado pode ser decisiva. Duas unidades usarem o mesmo sistema é pouco informativo se uma delas está sujeita a restrição operacional que impede justamente a prática cujo efeito se pretende transferir.

2.5. Conclusão necessária, provável e possível

necessária: não pode ser falsa se as premissas forem verdadeiras;
provável: recebe apoio relevante, mas pode falhar;
possível: ainda não foi excluída.

Possibilidade não implica probabilidade, e probabilidade não implica necessidade. A linguagem da conclusão deve ser proporcional ao apoio: “pode”, “provavelmente”, “sempre” e “necessariamente” não são intercambiáveis.

2.6. Padrões condicionais

Considere A → B.

Premissas adicionais	Conclusão	Avaliação
A	B	válida — afirmação do antecedente
¬B	¬A	válida — negação do consequente
B	A	inválida — afirmação do consequente
¬A	¬B	inválida — negação do antecedente

Se “processo urgente recebe prioridade” e P é urgente, segue que P recebe prioridade. Se P recebeu prioridade, não se conclui que era urgente: outra regra pode justificar a prioridade.

2.7. Relevância e suficiência

Uma razão pode ser irrelevante (“a proposta é popular, logo é legal”) ou relevante, porém insuficiente (“dois usuários reclamaram, logo todos rejeitam o serviço”). Primeiro verifique se a razão toca a propriedade afirmada; depois, se sustenta a extensão e a força da conclusão.

3. Proposições simples e compostas e tabelas-verdade

Na lógica proposicional clássica, uma proposição é uma afirmação declarativa que, em contexto definido, recebe exatamente um valor: verdadeiro ou falso. Não é necessário que o candidato conheça esse valor para reconhecer a proposição.

Perguntas, ordens e exclamações sem conteúdo declarativo não recebem V/F. Uma sentença como x + 2 = 7, sem valor atribuído a x, é aberta; pode tornar-se proposição quando a variável for substituída ou quantificada.

3.1. Simples, composta e conectivo principal

Proposição simples é tratada como unidade. Proposição composta combina proposições por conectivos. Em uma fórmula aninhada, o conectivo principal é o executado por último; os parênteses definem o agrupamento.

Operação	Forma	Quando é verdadeira
negação	$\neg p$	quando $p$ é falsa
conjunção	$p\land q$	somente em V/V
disjunção inclusiva	$p\lor q$	quando ao menos uma é V
disjunção exclusiva	$p\oplus q$	quando exatamente uma é V
condicional	$p\to q$	em todos os casos, exceto V/F
bicondicional	$p\leftrightarrow q$	quando os valores são iguais

O “ou” simples é inclusivo, salvo marca de exclusividade. “Mas”, “embora” e construções equivalentes normalmente preservam a regra de verdade da conjunção, apesar da diferença discursiva.

3.2. Condicional: a linha crítica

A condicional p → q é falsa apenas quando o antecedente ocorre e o consequente não. Ela não exige relação causal ou temporal.

$p$	$q$	$p\to q$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Em p → q:

p é condição suficiente para q;
q é condição necessária para p.

Linguagem	Forma
se p, então q	$p\to q$
p implica q	$p\to q$
p é suficiente para q	$p\to q$
q é necessário para p	$p\to q$
p somente se q	$p\to q$
p se q	$q\to p$

“Somente se” aponta para o lado necessário da seta. “Rui será nomeado se aprovado” faz a aprovação suficiente; “Rui será nomeado somente se aprovado” faz a aprovação necessária.

3.3. Bicondicional e exclusiva

A bicondicional é verdadeira quando os lados coincidem; a exclusiva, quando divergem:

Valores de $p$ e $q$	$p\leftrightarrow q$	$p\oplus q$
iguais	V	F
diferentes	F	V

A bicondicional expressa necessidade e suficiência recíprocas. A exclusiva afirma exatamente uma verdade, não “ao menos uma”.

3.4. Tabelas-verdade

Se há n proposições simples distintas, a tabela completa possui:

2^n

linhas. Repetir a mesma letra não aumenta n. Monte primeiro todas as atribuições e depois calcule subfórmulas de dentro para fora.

Para três letras, por exemplo, uma enumeração possível é:

$p$	$q$	$r$
V	V	V
V	V	F
V	F	V
V	F	F
F	V	V
F	V	F
F	F	V
F	F	F

A ordem pode variar, desde que cada combinação apareça uma vez.

Atalhos seguros:

uma parcela F derruba a conjunção;
uma parcela V garante a disjunção inclusiva;
antecedente F ou consequente V garante a condicional;
na bicondicional, compare igualdade; na exclusiva, diferença.

3.5. Tautologia, contradição e contingência

Coluna final	Classificação
somente V	tautologia
somente F	contradição
ao menos um V e um F	contingência

Uma linha F basta para mostrar que a fórmula não é tautologia, mas não basta para chamá-la de contradição. Uma linha V basta para mostrar que não é contradição, mas não prova tautologia.

3.6. Erros recorrentes

chamar ordem ou pergunta de “proposição falsa”;
contar ocorrências, não letras distintas;
presumir que todo “ou” é exclusivo;
declarar F → F falsa;
esquecer que F ↔ F é verdadeira;
inverter “se” e “somente se”;
desprezar parênteses e alcance da negação;
classificar pela observação de uma única linha.

4. Equivalências, leis de De Morgan e diagramas lógicos

Duas fórmulas são equivalentes quando têm o mesmo valor em todas as atribuições. Uma linha coincidente não prova equivalência; uma linha divergente a refuta. Equivalentemente, P ↔ Q deve ser tautológica.

4.1. Equivalências indispensáveis

Expressão	Forma equivalente
$\neg\neg p$	$p$
$p\to q$	$\neg p\lor q$
$p\to q$	$\neg q\to\neg p$
$\neg(p\to q)$	$p\land\neg q$
$p\leftrightarrow q$	$(p\to q)\land(q\to p)$
$p\leftrightarrow q$	$(p\land q)\lor(\neg p\land\neg q)$
$\neg(p\leftrightarrow q)$	$(p\land\neg q)\lor(\neg p\land q)$

A contrapositiva de p → q é ¬q → ¬p e é equivalente à original. A conversa q → p e a inversa ¬p → ¬q não são equivalentes em geral.

4.2. Leis algébricas úteis

p\land p\equiv p, \qquad p\lor p\equiv p

p\lor\neg p\equiv\top, \qquad p\land\neg p\equiv\bot

p\lor(p\land q)\equiv p, \qquad p\land(p\lor q)\equiv p

p\land(q\lor r) \equiv (p\land q)\lor(p\land r)

p\lor(q\land r) \equiv (p\lor q)\land(p\lor r)

Ao substituir uma subfórmula por equivalente, preserve parênteses e alcance. Equivalência não autoriza “cancelar” letras ou trocar conectivos por semelhança visual.

4.3. De Morgan

\neg(p\land q) \equiv \neg p\lor\neg q

\neg(p\lor q) \equiv \neg p\land\neg q

A operação tem dois movimentos inseparáveis: negar cada parcela e trocar e por ou, ou ou por e.

Frase original	Negação correta
Ana assinou e Bruno publicou	Ana não assinou ou Bruno não publicou
Ana assinou ou Bruno publicou	Ana não assinou e Bruno não publicou
todos os requisitos foram atendidos	pelo menos um requisito não foi atendido
algum requisito foi atendido	nenhum requisito foi atendido

“Nem p nem q” corresponde a ¬p ∧ ¬q, isto é, à negação de p ∨ q.

4.4. Roteiro de transformação

fixe o conectivo principal;
preserve os agrupamentos;
elimine → ou ↔ quando isso simplificar;
leve a negação para dentro, aplicando De Morgan;
elimine duplas negações;
procure complementos, identidade, absorção e distributividade;
se necessário, confira por tabela-verdade ou por atribuição divergente.

4.5. Diagramas lógicos de classes

Nos diagramas, regiões representam classes. Uma convenção operacional frequente é:

região hachurada: vazia;
X: existe ao menos um objeto naquela região;
região em branco: existência não determinada;
X sobre uma fronteira: existe objeto, mas a sub-região exata ainda não foi determinada.

Forma categórica	Leitura de classe
todo A é B	a parte de A fora de B é vazia
nenhum A é B	$A\cap B$ é vazia
algum A é B	há `X` em $A\cap B$
algum A não é B	há `X` em $A\setminus B$

As negações formam pares:

Afirmação	Negação
todo A é B	algum A não é B
nenhum A é B	algum A é B
algum A é B	nenhum A é B
algum A não é B	todo A é B

Premissa universal restringe regiões, mas não cria automaticamente existência da classe-sujeito. De “todo auditor é servidor” não se conclui, sem informação existencial, que exista auditor.

4.6. Inferências diagramáticas

se $A\subseteq B$ e $B\subseteq C$ , então $A\subseteq C$ ;
se todo A é B e algum A é C, então algum B é C;
se todo A é B e algum B é C, não é obrigatório que algum A seja C;
se todo A é B e nenhum B é C, então nenhum A é C;
se algum A é B e nenhum B é C, então algum A não é C.

Para três classes, lance primeiro as restrições universais e depois os objetos existenciais. Não posicione um X numa sub-região apenas para favorecer a conclusão quando duas posições permanecem admissíveis.

5. Lógica de primeira ordem

A lógica de primeira ordem abre a estrutura interna das afirmações. Em vez de tratar “todo servidor é agente público” como letra indivisível, explicita objetos, propriedades, relações e quantificadores.

5.1. Linguagem e semântica

Elemento	Função
domínio	conjunto não vazio de objetos considerados
constante	nomeia um objeto
variável	ocupa o lugar de um objeto
função	recebe objetos e devolve objeto
predicado	atribui propriedade ou relação
aridade	número de argumentos exigidos
igualdade	identidade entre objetos designados

f(a) é termo; P(f(a)) é fórmula. Predicado binário R(x,y) não pode ser usado como R(x) sem redefinição. Constantes diferentes podem nomear o mesmo objeto, salvo premissa de desigualdade.

5.2. Quantificadores, escopo e variáveis

∀x P(x): todo objeto do domínio satisfaz P;
∃x P(x): ao menos um objeto do domínio satisfaz P.

Existencial não significa “exatamente um” nem “algum, mas não todos”. O escopo do quantificador determina quais ocorrências da variável ficam ligadas. Fórmula sem variável livre é uma sentença; fórmula aberta depende também de uma atribuição.

5.3. Traduções categóricas

Português	Fórmula
todo A é B	$\forall x(A(x)\to B(x))$
nenhum A é B	$\forall x(A(x)\to\neg B(x))$
algum A é B	$\exists x(A(x)\land B(x))$
algum A não é B	$\exists x(A(x)\land\neg B(x))$

Universal restrita usa implicação; existencial restrita usa conjunção.

∀x(A(x) ∧ B(x)) diria que todo objeto do domínio é A e B, não apenas que todo A é B. ∃x(A(x) → B(x)) pode ser satisfeita por um objeto que nem sequer seja A e, por isso, não traduz corretamente “algum A é B”.

“Somente servidores acessam” significa:

\forall x(Acessa(x)\to Servidor(x)).

Não afirma que todo servidor acessa.

5.4. Negação de quantificadores

\neg\forall x\,\varphi(x) \equiv \exists x\,\neg\varphi(x)

\neg\exists x\,\varphi(x) \equiv \forall x\,\neg\varphi(x)

Assim:

\neg\forall x(A(x)\to B(x)) \equiv \exists x(A(x)\land\neg B(x)).

Negar “todos” produz um contraexemplo existencial; não produz “nenhum”. Para negar quantificadores sucessivos, troque cada quantificador e negue o escopo:

\neg\forall x\exists y\,R(x,y) \equiv \exists x\forall y\,\neg R(x,y).

5.5. Ordem dos quantificadores

\forall x\exists y\,R(x,y)

permite um y diferente para cada x. Já

\exists y\forall x\,R(x,y)

exige um mesmo y que funcione para todos. Em geral, essas fórmulas não são equivalentes.

Quantificadores consecutivos do mesmo tipo podem trocar de ordem; quantificadores mistos, em geral, não.

5.6. Existência, modelos e contramodelos

O domínio global é não vazio, mas uma classe definida por predicado pode ser vazia. Portanto:

\forall x(A(x)\to B(x))

não implica ∃x A(x).

Uma fórmula é:

satisfatível se verdadeira em algum modelo;
válida se verdadeira em todos os modelos admissíveis;
insatisfatível se não há modelo que a torne verdadeira.

Para refutar consequência lógica, construa um contramodelo com premissas verdadeiras e conclusão falsa. De ∃xP(x) e ∃xQ(x) não segue ∃x(P(x) ∧ Q(x)): os testemunhos podem ser objetos diferentes.

5.7. Inferências elementares

de ∀x P(x), pode-se obter P(a) para objeto designado;
de P(a), segue ∃x P(x);
de ∃x P(x), não se conclui P(a) para constante arbitrariamente escolhida;
de P(a) para um indivíduo específico, não segue ∀x P(x);
de ∀x(A→B), ∀x(B→C) e ∃xA, segue ∃xC.

6. Princípios de contagem e probabilidade

O erro mais caro é escolher a fórmula antes de definir o que conta como resultado diferente. Pergunte se há alternativas ou etapas, se a ordem importa, se todos os objetos serão usados, se há repetição, se posições têm restrições e se rotações são equivalentes.

6.1. Mapa de decisão da contagem

Estrutura	Ferramenta inicial
alternativas disjuntas	somar
etapas sucessivas	multiplicar
ordenar todos os objetos distintos	permutação
escolher parte e a ordem importa	arranjo
escolher parte e a ordem não importa	combinação
objetos repetidos e indistinguíveis	dividir pelos fatoriais das repetições
escolha com repetição, sem ordem	combinação com repetição
disposição circular sem lugar marcado	permutação circular

6.2. Fórmulas básicas

0!=1, \qquad P_n=n!

A_{n,p}=\frac{n!}{(n-p)!}

\binom np=\frac{n!}{p!(n-p)!}

A_{n,p}=\binom np\,p!

Com repetições de multiplicidades $a_1,\ldots,a_r$ :

\frac{n!}{a_1!\cdots a_r!}.

Em círculo, quando apenas rotações são equivalentes:

(n-1)!.

Escolhendo p unidades entre n tipos, com repetição e sem ordem:

\binom{n+p-1}{p}.

6.3. Restrições

juntos: trate o grupo como bloco e conte sua ordem interna;
separados: use lacunas ou total menos casos adjacentes;
posição fixa: retire objeto e posição antes de permutar;
algarismo inicial: zero não pode iniciar numeral comum;
cópias iguais: trocá-las não cria novo arranjo;
círculo: rotação não cria nova disposição; reflexão continua distinta, salvo regra contrária.

Para “pelo menos um”, o complemento “nenhum” costuma ser mais simples:

N(\text{desejado})=N(\text{total})-N(\text{nenhum}).

6.4. Inclusão-exclusão e casa dos pombos

|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|

|A\cup B\cup C| =|A|+|B|+|C| -|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C| +|A\cap B\cap C|.

Ao distribuir N objetos em r caixas, alguma caixa contém ao menos:

\left\lceil\frac Nr\right\rceil

objetos. O princípio garante existência, não identifica a caixa.

6.5. Espaço amostral e probabilidade

Evento é subconjunto do espaço amostral. Em espaço finito com resultados elementares equiprováveis:

P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}.

Não use essa razão quando os resultados elementares têm pesos diferentes. Dois dados honestos distinguíveis geram 36 pares ordenados equiprováveis; as somas de 2 a 12 não são equiprováveis.

Propriedades:

0\le P(A)\le1, \qquad P(A^c)=1-P(A)

P(A\cup B) =P(A)+P(B)-P(A\cap B).

Se os eventos são mutuamente exclusivos, a interseção é vazia e as probabilidades somam.

6.6. Condicionamento, produto e independência

Para P(B)>0:

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.

Logo:

P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B).

Eventos são independentes quando:

P(A\cap B)=P(A)P(B).

Quando a condicional está definida, isso equivale a P(A|B)=P(A). Exclusão mútua não é independência: eventos mutuamente exclusivos com probabilidades positivas são dependentes, porque a ocorrência de um elimina o outro.

Sem reposição, a composição e o denominador normalmente mudam. Com reposição, a composição é restaurada. Em n tentativas independentes, cada uma com sucesso de probabilidade p:

P(\text{ao menos um sucesso})=1-(1-p)^n.

6.7. Probabilidade total e Bayes

Se B₁,...,Bₖ formam partição do espaço:

P(A)=\sum_{i=1}^{k}P(A\mid B_i)P(B_i).

Para inverter o condicionamento:

P(B_j\mid A) = \frac{P(A\mid B_j)P(B_j)} {\sum_iP(A\mid B_i)P(B_i)}.

A taxa-base P(B_j) não desaparece. Em geral, P(A|B) e P(B|A) são diferentes.

7. Operações com conjuntos

Antes de operar, identifique o universo e diferencie pertinência de inclusão.

x ∈ A: x é elemento de A;
A ⊆ B: todo elemento de A está em B;
|A|: número de elementos distintos de A.

A ordem e a repetição não alteram um conjunto. O vazio tem cardinalidade zero, mas {∅} tem um elemento. Além disso, ∅ ⊆ A para todo A; isso não significa ∅ ∈ A.

7.1. Operações e linguagem

Linguagem	Região/expressão
A ou B, inclusive ambos	$A\cup B$
A e B	$A\cap B$
A, mas não B	$A\setminus B$
não A, dentro do universo	$A^c=U\setminus A$
exatamente um entre A e B	$A\triangle B$
nenhum dos dois	$(A\cup B)^c$
não ambos	$(A\cap B)^c$

A diferença não é comutativa. O complemento depende do universo. “Nenhum” e “não ambos” não são iguais: o primeiro exclui toda a união; o segundo admite pertencer exatamente a um.

7.2. Leis essenciais

A\cup A=A, \qquad A\cap A=A

A\cup\varnothing=A, \qquad A\cap U=A

A\cup U=U, \qquad A\cap\varnothing=\varnothing

A\cup(A\cap B)=A, \qquad A\cap(A\cup B)=A

A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)

A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C).

De Morgan para conjuntos:

(A\cup B)^c=A^c\cap B^c

(A\cap B)^c=A^c\cup B^c.

É o mesmo padrão estrutural da lógica proposicional: complementar cada parcela e trocar união por interseção.

7.3. Cardinalidade de dois conjuntos

|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.

|A\setminus B|=|A|-|A\cap B|.

|A\triangle B| =|A|+|B|-2|A\cap B|.

|(A\cup B)^c|=|U|-|A\cup B|.

Limites úteis:

\max(0,|A|+|B|-|U|) \le |A\cap B| \le \min(|A|,|B|).

7.4. Três conjuntos

Preencha o diagrama do centro para fora:

interseção tripla;
regiões de exatamente dois;
regiões exclusivas;
região externa à união.

A informação |A ∩ B| inclui quem também pertence a C. Para obter “A e B, mas não C”, subtraia a tripla.

A cardinalidade de quem pertence a pelo menos dois dos três é:

|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C| -2|A\cap B\cap C|.

A tripla aparece três vezes na soma inicial e deve terminar contada uma vez.

7.5. Conferências

Todas as regiões devem ser não negativas, a soma não pode ultrapassar o universo e os totais marginais precisam ser reconstituídos. Se algum cálculo gera região negativa, a tradução ou os dados usados são incompatíveis.

8. Problemas aritméticos

Em problemas aritméticos, a principal habilidade é converter o texto em relações numéricas preservando bases, unidades e restrições. Defina a incógnita, indique sua unidade e só então escreva a equação.

8.1. Frações, múltiplos e restos

“Fração de uma quantidade” indica multiplicação. Se a fração incide sobre o restante, a base mudou. Gastar 1/3 de um valor e depois 1/4 do restante não equivale a gastar 1/3 + 1/4 do valor inicial.

Use:

MMC em coincidência de ciclos;
MDC em maior agrupamento idêntico sem sobra;
divisão euclidiana em problemas de restos:

n=dq+r, \qquad 0\le r<d.

8.2. Razão, proporção e regra de três

a:b=\frac ab, \qquad \frac ab=\frac cd\Longleftrightarrow ad=bc.

Proporcionalidade direta: y=kx. Proporcionalidade inversa: xy=k. Não basta observar que uma grandeza aumentou enquanto a outra diminuiu; a constância precisa decorrer do modelo.

Regra de três organiza proporcionalidade já justificada. Em produção, costuma ser mais seguro calcular a taxa por agente e por unidade de tempo.

Na divisão direta de total T na razão a:b:c:

x=T\frac{a}{a+b+c}, \quad y=T\frac{b}{a+b+c}, \quad z=T\frac{c}{a+b+c}.

Na divisão inversamente proporcional, use os recíprocos como pesos.

8.3. Porcentagem e base de comparação

Aumento de p% aplica fator 1+p/100; desconto aplica 1-p/100.

V_f=V_0\left(1\pm\frac p{100}\right).

Para desfazer a operação, divida pelo fator aplicado. Percentuais sucessivos multiplicam fatores:

V_f=V_0f_1f_2\cdots.

Aumentar 20% e reduzir 20% produz 1,2 × 0,8 = 0,96, redução líquida de 4%. Passar de 40% para 50% representa 10 pontos percentuais e aumento relativo de 25%.

8.4. Médias

\bar x=\frac{\sum x_i}{n}, \qquad \bar x_p=\frac{\sum w_ix_i}{\sum w_i}.

Ao reunir grupos de tamanhos diferentes, seus tamanhos são pesos; não tire média simples das médias. Velocidade média é sempre distância total dividida por tempo total. Para duas distâncias iguais percorridas a velocidades v₁ e v₂:

v_m=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}.

8.5. Equações, idades e algarismos

Traduza cada relação. Se dois números somam S e diferem por D:

\text{maior}=\frac{S+D}{2}, \qquad \text{menor}=\frac{S-D}{2}.

Número de dois algarismos com dezena x e unidade y é 10x+y; invertido, 10y+x. Em idades, todos avançam o mesmo intervalo, por isso a diferença entre idades permanece constante.

Soluções algébricas negativas, fracionárias ou fora de faixa devem ser confrontadas com o contexto: uma raiz correta da equação pode ser inadmissível no problema.

8.6. Taxa × tempo

Muitos problemas obedecem a:

\text{quantidade}=\text{taxa}\times\text{tempo}.

trabalho: quem conclui uma tarefa em t unidades de tempo tem taxa 1/t da tarefa por unidade;
agentes simultâneos: sob hipóteses comparáveis, somam-se as taxas;
vazão: entradas somam e saídas subtraem;
movimento uniforme: d=vt; em aproximação por sentidos opostos, somam-se velocidades; em perseguição no mesmo sentido, usa-se a diferença.

Mais trabalhadores só reduzem proporcionalmente o tempo quando trabalho, jornada e produtividade individual permanecem comparáveis.

8.7. Misturas e unidades

Se concentração decimal é c e volume é V, a quantidade da substância é cV. Em mistura de duas soluções com volumes aditivos:

c_f=\frac{c_1V_1+c_2V_2}{V_1+V_2}.

Adicionar água conserva o soluto; adicionar soluto puro altera numerador e volume total.

Converta unidades antes de combinar grandezas. Relações frequentes:

1 h = 60 min = 3 600 s;
1 km = 1 000 m;
1 kg = 1 000 g;
1 L = 1 000 mL;
1 m/s = 3,6 km/h.

Duas horas e quinze minutos correspondem a 2,25 h, não 2,15 h.

8.8. Padrões numéricos

Teste diferenças, razões, alternância, dependência da posição e recorrência informada. Não force progressão aritmética ou geométrica porque os primeiros termos admitem esse ajuste; a regra deve explicar o conjunto relevante dos dados.

9. Problemas geométricos

O desenho organiza, mas não prova propriedades. Paralelismo, perpendicularidade, congruência e medidas precisam estar dados ou decorrer de teorema aplicável. Antes da fórmula, determine se se pede comprimento, ângulo, perímetro, área, volume ou capacidade.

9.1. Ângulos e triângulos

complementares somam 90°;
suplementares somam 180°;
opostos pelo vértice são iguais;
ao redor de um ponto, a soma é 360°.

Com duas paralelas cortadas por transversal, ângulos correspondentes e alternos são iguais, e colaterais são suplementares. Sem paralelismo, essas relações não estão garantidas.

Em triângulo:

\alpha+\beta+\gamma=180^\circ.

Se c é o maior lado, existe triângulo não degenerado quando:

c<a+b.

Pitágoras exige triângulo retângulo:

a^2+b^2=c^2.

9.2. Semelhança, Tales e escala

Em figuras semelhantes com razão linear k:

\frac{L_2}{L_1}=k, \qquad \frac{A_2}{A_1}=k^2, \qquad \frac{V_2}{V_1}=k^3.

Tales exige paralelismo e correspondência coerente dos segmentos. Escala 1:n multiplica comprimentos por n, áreas por n² e volumes por n³.

9.3. Perímetros e áreas

Figura	Área
quadrado	$l^2$
retângulo	$ab$
paralelogramo	$bh$
triângulo	$\frac{bh}{2}$
trapézio	$\frac{(B+b)h}{2}$
losango	$\frac{Dd}{2}$

A altura é perpendicular à base. Em figura composta, decomponha sem sobrepor partes ou calcule uma região maior e subtraia recortes. Perímetro usa unidade linear; área, unidade quadrada.

Para polígono de n lados, a soma dos ângulos internos é:

(n-2)180^\circ.

9.4. Circunferência e círculo

d=2r, \qquad C=2\pi r, \qquad A=\pi r^2.

Para ângulo central θ em graus:

L_{arco}=\frac{\theta}{360^\circ}2\pi r, \qquad A_{setor}=\frac{\theta}{360^\circ}\pi r^2.

Coroa circular:

A=\pi(R^2-r^2).

Não confunda R²-r² com (R-r)² nem comprimento da circunferência com área do círculo.

9.5. Volumes e capacidade

Sólido	Volume
prisma	$A_bh$
paralelepípedo	$abc$
cubo	$l^3$
cilindro	$\pi r^2h$
pirâmide	$\frac{A_bh}{3}$
cone	$\frac{\pi r^2h}{3}$

Com mesma base e altura, cone tem um terço do volume do cilindro; pirâmide, um terço do prisma. Em problema de material, conte apenas as faces existentes: caixa sem tampa não inclui a face superior.

9.6. Conversões dimensionais

Se 1 m = 100 cm:

1\text{ m}^2=10\,000\text{ cm}^2, \qquad 1\text{ m}^3=1\,000\,000\text{ cm}^3.

1\text{ L}=1\text{ dm}^3=1\,000\text{ cm}^3, \qquad 1\text{ m}^3=1\,000\text{ L}.

O fator linear deve ser elevado ao quadrado para áreas e ao cubo para volumes.

10. Problemas matriciais

Uma matriz é uma disposição retangular; o significado vem dos rótulos e unidades de linhas e colunas. Em A_{m×n}, m é o número de linhas e n, o de colunas. O elemento a_{ij} está na linha i, coluna j.

Antes de operar, decida se a questão apresenta um padrão em quadro ou uma operação matricial. Em padrões, teste regra por linhas, colunas e, quando justificado, diagonais; uma regra que explica apenas uma posição não está confirmada.

10.1. Igualdade, soma e escalar

Duas matrizes são iguais quando têm a mesma ordem e elementos correspondentes iguais. Soma e subtração exigem mesma ordem e operam posição a posição:

(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}.

Multiplicação por escalar aplica o fator a todos os elementos. Aumento uniforme de 10% produz 1,10A; 0,10A representa apenas o acréscimo.

10.2. Transposta

(A^T)_{ij}=a_{ji}.

A transposta troca linhas por colunas e transforma ordem m×n em n×m. Em uma tabela, pode trocar a leitura “setores × produtos” por “produtos × setores”, sem alterar arbitrariamente os valores.

10.3. Produto matricial

Se:

A_{m\times n}B_{n\times p},

então AB existe e tem ordem m×p. Cada entrada combina uma linha da primeira matriz com uma coluna da segunda:

c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}.

As dimensões internas devem coincidir; as externas formam a ordem do resultado:

(m\times\cancel n)(\cancel n\times p)\longrightarrow m\times p.

Produto matricial não é multiplicação posição a posição. Em geral, AB ≠ BA; a existência de AB nem sequer garante a existência de BA.

10.4. Modelagem

Se linhas representam setores, colunas representam materiais, Q contém quantidades e p é vetor coluna de preços unitários, Qp fornece o custo total de cada setor. A unidade ajuda a validar:

\text{quantidade}\times\frac{\text{valor}}{\text{unidade}}=\text{valor}.

Em composição de etapas, o fator da direita atua primeiro. Trocar a ordem pode inverter o processo ou tornar o produto indefinido.

10.5. Limite do recorte

Determinantes, matriz inversa, escalonamento e resolução geral de sistemas lineares não foram nomeados no item “problemas matriciais” deste edital. Só devem aparecer se o próprio enunciado fornecer uma aplicação elementar indispensável; não são eixo autônomo da revisão.

Revisão cruzada: distinções que atravessam o programa

Condicional em três níveis

estrutura lógica: A → B restringe configurações;
argumentação: permite modus ponens e modus tollens, não conversa nem inversa;
lógica proposicional: é falsa apenas em V/F e equivale a ¬A ∨ B.

De Morgan em três linguagens

Contexto	Regra
proposições	negar parcelas e trocar `∧`/`∨`
quantificadores	trocar `∀`/`∃` e negar o escopo
conjuntos	complementar parcelas e trocar `∪`/`∩`

Existência

uma configuração válida prova que algo pode ocorrer;
uma premissa universal de classe não cria automaticamente exemplar;
uma fórmula existencial exige testemunho;
duas existenciais podem ter testemunhos diferentes;
uma região em branco no diagrama não prova que esteja ocupada.

“Ou”, soma e união

no conectivo e na união, “ou” é normalmente inclusivo;
na contagem, alternativas só podem ser somadas diretamente quando forem disjuntas;
em probabilidade, a soma exige corrigir a interseção;
“ou, mas não ambos” é exclusiva ou diferença simétrica.

Independência, exclusão e incompatibilidade

eventos mutuamente exclusivos não ocorrem juntos;
eventos independentes não alteram a probabilidade um do outro;
restrições incompatíveis tornam um ramo impossível;
classes disjuntas têm interseção vazia, mas podem ambas existir.

Unidades e dimensões

taxa combina quantidade e tempo;
porcentagem exige identificar a base;
perímetro, área e volume usam dimensões diferentes;
produto matricial exige compatibilidade de dimensões internas;
número sem unidade pode estar matematicamente correto e contextualmente errado.

Checklist de última passagem

Referências

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