Mega revisão de Raciocínio Lógico

1. Do comando ao método

Primeiro reconheça o objeto; depois escolha o que precisa demonstrar. Uma distribuição de pessoas, uma linha de tabela-verdade e um diagrama de classes podem representar a mesma tarefa: encontrar situações que satisfaçam todas as premissas e verificar a conclusão.

Havendo ao menos uma configuração admissível, possível inclui o necessário. Algo verdadeiro em todos esses casos também é verdadeiro em algum. Para derrubar uma conclusão necessária, procure um contraexemplo: premissas verdadeiras com a conclusão falsa. Esse mesmo teste serve a argumentos, diagramas e problemas de organização.

Organizar restrições sem inventar relações

Poucas posições possíveis, vínculos obrigatórios e limites de capacidade costumam restringir mais cedo. Uma solução candidata deve satisfazer simultaneamente todas as pistas.

Quanto apoio a conclusão recebe?

• Dedução: exige necessidade. Verdade é atributo das proposições; validade, da ligação entre premissas e conclusão. Argumento sólido é válido e tem premissas verdadeiras.
• Indução: amostra ou frequência apoia conclusão provável; avalie representatividade, tamanho e exceções. “A maioria tem P” não obriga um indivíduo previamente escolhido a ter P.
• Analogia: transfere uma expectativa entre casos semelhantes; importam as semelhanças relevantes para a conclusão e as diferenças capazes de desfazê-la.

Uma conclusão falsa não identifica sozinha o defeito do argumento; uma conclusão verdadeira também pode ter sido obtida por raciocínio inválido. Sucessão temporal, por si, não estabelece causalidade.

2. Traduzir, negar e testar a conclusão

Uma proposição é uma afirmação que admite valor verdadeiro ou falso. Perguntas e ordens não o admitem; uma frase com variável ainda livre depende da atribuição de um objeto. Proposição simples não contém conectivo proposicional; composta combina proposições. Para $n$ proposições simples distintas, a tabela-verdade completa tem $2^n$ linhas; letras repetidas não criam novas variáveis.

A condicional conecta linguagem, tabela e argumento

Em $p\to q$, o antecedente p é a hipótese e o consequente q é o que ela exige. A condicional é falsa somente com p verdadeira e q falsa. Com antecedente falso, é verdadeira; isso não afirma causa, sequência temporal nem verdade de q.

Também valem o encadeamento $p\to q$, $q\to r\Rightarrow p\to r$ e, de $p\lor q$ com $\neg p$, a conclusão q. Já $p\lor q$ com p não permite negar q: o “ou” inclusivo admite ambos.

Valor, equivalência e negação em uma consulta

A última forma é a contrapositiva, que inverte e nega as duas partes. Ela preserva a condicional; sua negação é $p\land\neg q$. Trocar somente a ordem produz a conversa $q\to p$, e negar sem trocar produz a inversa $\neg p\to\neg q$: estas duas são equivalentes entre si, mas não equivalem em geral à original.

Para reorganizar fórmulas: dupla negação elimina-se; $\land$ e $\lor$ são comutativos e associativos e distribuem-se um sobre o outro: $p\land(q\lor r)\equiv(p\land q)\lor(p\land r)$, e vale a forma com $\land/\lor$ trocados. A condicional não permite a troca da ordem em geral. Preserve parênteses: negar a fórmula inteira difere de negar uma parcela.

Tautologia é verdadeira em todas as linhas; contradição, falsa em todas; contingência, verdadeira em algumas e falsa em outras. Satisfatível significa verdadeira em pelo menos uma interpretação.

A mesma negação em três linguagens

Negar “todos” pede uma exceção; negar “algum” elimina todas as ocorrências. “Algum” significa pelo menos um e não exclui que sejam todos.

Classes, quantificadores e diagramas

Na tabela, $A(x)$ significa “x pertence à classe A”. O domínio é o conjunto de objetos sobre os quais se quantifica.

Universal de classe não cria indivíduo. Na lógica clássica de primeira ordem, o domínio é não vazio, mas A pode ser vazio. De “todo A é B” não se conclui “algum A é B” sem existência de A. “Nenhum A é B” e “algum A é B” admitem troca de A/B; “todo A é B” e “algum A não é B” não admitem essa troca em geral.

No diagrama, marque região vazia e existência conhecida; região sem marca não é necessariamente ocupada. Se a premissa deixa mais de um desenho possível, a conclusão necessária precisa sobreviver a todos. Duas afirmações “algum” podem se referir a pessoas diferentes: de algum A ser B e algum B ser C não se segue que algum A seja C.

Escopo e dependência dos quantificadores

• Termo nomeia objeto: constante, variável ou aplicação de função. Predicado afirma propriedade/relação e, com os argumentos interpretados, recebe valor lógico; função retorna objeto. A aridade é o número de argumentos exigidos.
• Uma ocorrência de variável está ligada se está sob o quantificador que a rege; caso contrário, está livre. Uma fórmula sem variáveis livres é uma sentença. Renomear variável ligada exige preservar o escopo e evitar captura, quando uma ocorrência antes livre passa a ser ligada.
• $\forall x\exists y\,R(x,y)$: cada x tem algum y, que pode variar. $\exists y\forall x\,R(x,y)$: existe um mesmo y que serve a todos os x. A segunda implica a primeira; a recíproca não vale em geral. “Um mesmo” não significa “único”.
• Quantificadores consecutivos do mesmo tipo podem trocar de ordem. Ao negar uma sequência de quantificadores, troque cada $\forall/\exists$ alcançado pela negação e negue o escopo restante, conservando a ordem.
• Distribuições válidas: $\forall x(P(x)\land Q(x))\equiv(\forall xP(x))\land(\forall xQ(x))$ e $\exists x(P(x)\lor Q(x))\equiv(\exists xP(x))\lor(\exists xQ(x))$. Em geral, $\forall$ não se distribui sobre $\lor$; dois existenciais separados tampouco garantem um mesmo objeto para uma conjunção.
• De $\forall xP(x)$ pode-se concluir $P(a)$ para um objeto a do domínio; de $\exists xP(x)$ não se conclui que um objeto a previamente escolhido satisfaça P.

3. Da região à contagem e à probabilidade

Defina o que distingue dois resultados. Conjunto não muda pela ordem nem pela repetição de elementos; sequência pode mudar com a ordem; numa matriz, a posição é parte do dado. $x\in A$ relaciona elemento e conjunto; $A\subseteq B$, dois conjuntos. O vazio é subconjunto de qualquer conjunto, mas não é automaticamente elemento dele. Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.

Traduzir antes de contar

Para conjuntos finitos, $\lvert A\rvert$ é a quantidade de elementos distintos. Inclusão-exclusão corrige sobreposições:

Com três conjuntos, some os três totais, subtraia as três interseções de pares e recoloque a interseção tripla. Cada interseção de par inclui a tripla, salvo se o enunciado disser “somente”. Preencha o diagrama do centro para fora; a parte externa é o total do universo menos a união.

Para contar exatamente dois entre A, B e C, some as três interseções de pares e subtraia três vezes a tripla. Para pelo menos dois, subtraia duas vezes a tripla. O critério muda a região, mesmo quando os dados são iguais.

Restrições primeiro; fórmula depois

Somam-se casos disjuntos, sem resultados comuns. Multiplicam-se as opções de etapas sucessivas quando cada percurso tem as quantidades indicadas; se o número de escolhas seguintes varia, separe os casos. Esse princípio de contagem não exige independência probabilística. Na tabela, os parâmetros são inteiros não negativos, com as condições adicionais indicadas.

Se pessoas devem ficar juntas, trate-as como bloco e conte a ordem interna permitida. Para números, zero não pode ocupar a primeira posição. Para “pelo menos um”, o complemento “nenhum” pode encurtar a conta.

Casa dos pombos: distribuir N objetos em k caixas, com k inteiro positivo, garante alguma caixa com pelo menos $\lceil N/k\rceil$ objetos, o menor inteiro não inferior a $N/k$. Para forçar alguma caixa a atingir r objetos, com r inteiro positivo, bastam $k(r-1)+1$. A garantia é de existência: não identifica qual caixa nem afirma ocupação exata.

Quando contar dá uma probabilidade?

O espaço amostral $\Omega$ reúne resultados possíveis; evento é um subconjunto. Em espaço finito equiprovável, com resultados de mesma chance:

Sem equiprobabilidade, some as probabilidades dos resultados favoráveis. Duas somas numéricas possíveis, por exemplo, podem corresponder a quantidades diferentes de pares ordenados.

Eventos mutuamente exclusivos não ocorrem juntos. Se ambos têm probabilidade positiva, exclusão e independência não podem coexistir. Retirada sem reposição modifica a composição; com reposição, a composição é restaurada, mas a independência ainda depende do mecanismo de sorteio e dos eventos considerados.

Em n tentativas independentes com chance p constante, a probabilidade de pelo menos um sucesso é $1-(1-p)^n$. Como controle da conta, a interseção não excede o menor conjunto/evento; a união não excede o universo/probabilidade 1. Se a soma dos dois totais ultrapassa o universo, alguma sobreposição é obrigatória.

Se $B_1,\ldots,B_k$ formam uma partição, casos disjuntos que cobrem o espaço, e têm probabilidades positivas:

A segunda fórmula, regra de Bayes, exige ainda $P(A)>0$: a informação A passa a definir a base da comparação. $P(A\mid B)$ e $P(B\mid A)$ respondem a perguntas diferentes.

4. Base, pesos e taxas: a ponte quantitativa

“De qual total?” une porcentagem, probabilidade condicional, juros e médias. “O que permanece constante?” decide proporção, trabalho conjunto, mistura e movimento.

Juros: identificar o capital antes da taxa

Com capital C, taxa decimal i por período e n períodos na mesma unidade:

Em compra com entrada, o capital financiado é o preço à vista menos a entrada. Se o restante é quitado por uma única parcela futura, compare essa parcela com o saldo financiado. Dividir o encargo pelo preço integral muda a taxa. Não misture meses com taxa anual sem converter segundo o regime e as condições do problema.

Soma ponderada: média, mistura e matriz

Os pesos $w_i$ são não negativos e representam frequências, tamanhos ou participações. Média simples usa pesos iguais; para reunir médias de grupos, seus tamanhos são os pesos. Em mistura de volumes aditivos, sem perda do componente, a concentração final é $(c_1V_1+c_2V_2)/(V_1+V_2)$: conserva-se a quantidade $cV$ do componente, não a média simples das concentrações.

Em tabela de quantidades Q por setor/produto e vetor-coluna p de preços, Qp é a soma ponderada dos custos por setor; não se divide pela soma dos pesos porque o pedido é total. O mesmo raciocínio “multiplicar correspondentes e somar” aparece no produto matricial.

Taxa e tempo; solução e contexto

• Trabalho uniforme: quem realiza uma tarefa em t unidades de tempo tem taxa $1/t$. Agentes simultâneos somam taxas quando mantêm as produtividades assumidas; entradas e saídas de reservatório usam sinais opostos.
• Movimento uniforme: $d=vt$. Velocidade média é distância total/tempo total. Em aproximação em sentidos opostos, somam-se velocidades; perseguição no mesmo sentido usa a diferença. Com tempos iguais, pode-se usar a média aritmética das velocidades.
• Mais trabalhadores reduzem o tempo inversamente se quantidade de trabalho, jornada e produtividade individual forem mantidas. Verifique a hipótese antes de montar regra de três.
• Idades avançam pelo mesmo intervalo, preservando diferenças. Número de dois algarismos é $10x+y$, com $x\ne0$; inverter algarismos produz $10y+x$. Solução de equação ainda deve respeitar positividade, integralidade e limites do enunciado.
• Divisão inteira: $a=bq+r$, com divisor positivo b e $0\le r<b$. Ciclos usam resto, mas resto zero pode apontar para a última posição de uma numeração iniciada em 1.
• MMC recupera coincidência de ciclos que começam juntos; MDC, maior medida comum que divide quantidades sem sobra. Se os ciclos têm inícios diferentes, considere também esse deslocamento.
• Em sequências, teste diferenças, razões, alternância e regra de recorrência, na qual um termo depende de anteriores. A regra deve explicar todos os dados pertinentes; poucos termos não determinam uma continuação única sem restrições adicionais.

5. Dimensão e escala: o cálculo tem de medir o que foi pedido

O desenho sugere uma organização; paralelismo, perpendicularidade e medidas precisam ser dados ou demonstrados. Antes da conta, distinga contorno, superfície e espaço ocupado.

A razão linear controla outras dimensões

Figuras semelhantes preservam ângulos e têm medidas lineares correspondentes proporcionais. Se a passagem da figura 1 para a 2 multiplica comprimentos por $k>0$, multiplica perímetros por k, áreas por $k^2$ e volumes por $k^3$. Tales exige paralelismo e correspondência correta dos segmentos.

Na escala desenho:real = 1:n, passar do desenho ao real multiplica comprimentos por n e áreas por $n^2$; volumes de modelos semelhantes, por $n^3$. O sentido inverso divide pelos mesmos fatores.

Ponte com taxas: num cone reto invertido, com base horizontal e vértice para baixo, a água até altura h forma cone semelhante ao total de altura H; assim, a fração do volume é $(h/H)^3$. Com vazão constante, o tempo para acrescentar líquido é proporcional ao volume acrescentado. Ao encher desde vazio, atingir metade da altura não consome metade do tempo total; num prisma de seção horizontal constante, a relação altura/volume é linear.

Unidade linear elevada ao quadrado vira área; ao cubo, volume:

Uma hora contém 60 minutos: duas horas e quinze minutos são $2{,}25$ horas. Converta antes de combinar medidas.

6. Matrizes: posições, restrições e composição

Em $A_{m\times n}$, m conta linhas e n conta colunas; $a_{ij}$ ocupa linha i, coluna j. Rotule eixos e unidades. Padrão em quadro pede uma regra que explique as posições relevantes; operação matricial tem definição própria.

Dimensões internas coincidem; externas dão a ordem final. O produto não é feito posição a posição. Em geral, $AB\ne BA$, e AB existir não garante que BA exista. A matriz identidade tem 1 na diagonal principal e 0 nas demais entradas; com ordens compatíveis, $AI=A$ e $IA=A$. Potência $A^2=AA$ exige matriz quadrada.

Na aplicação a vetores-coluna, o fator mais à direita atua primeiro: $ABx=A(Bx)$. A ordem representa etapas do processo. Em Qp, por exemplo, quantidades por produto combinam-se com preços por produto para dar custos por setor; rótulos e unidades confirmam o produto adequado.

Quadros com somas de linhas/colunas e números distintos retomam as estruturas lógicas: todas essas condições valem juntas. Propague as somas e exclua valores já usados somente se a distinção for exigida.

Última decisão antes de marcar

Traduzi a força do comando? Possível ou necessário; algum ou todos; “não ambos” ou nenhum. Fixei a base? Universo condicionado, capital financiado, soma dos pesos. Respeitei as hipóteses? Ordem/repetição, independência, paralelismo, ângulo reto, dimensões matriciais. Voltei ao enunciado? A configuração e o resultado precisam satisfazer todas as condições, com unidade e sentido corretos.